在计算机世界中，行列式的计算方法多种多样，其中主元法、大公式和代数余子式公式各具特色。
首先，主元乘积的奥秘在于，通过消元过程，主元会优雅地出现在对角线上，如果没有行交换，我们有
如果行交换介入，行列式的计算则微妙地结合了主元和交换次数，如公式所示：如果没有足够多的主元，矩阵的可逆性将受到影响。
以实例 例 1 和例 2 为例，主元的来源可追溯到矩阵左上角的子矩阵，这为我们理解行列式的结构提供了关键线索。
接下来，大公式法则直接利用矩阵每个元素，它的计算公式展现出矩阵元素的巧妙组合：每个项的乘积由矩阵的三行三列元素构成，且符号由置换矩阵决定。通过线性性质，一个n×n矩阵的行列式可以简化为
虽然27项中只有6项非零，但通过分析行交换次数，我们可以确定这些项的符号，从而计算出最终结果。
最后，代数余子式的魔法在于提取矩阵第一行的元素，形成一个独特的关系式。代数余子式（cofactor）是矩阵行列式的子部分，而整个行列式的计算则是这些因子和子矩阵行列式的巧妙组合，如(2×A_{11} + (-1)×A_{12} + 0×A_{13})。
值得注意的是，符号的确定是关键，通过划除特定行和列形成子矩阵，如A_{11}是划除第一行第一列后的子矩阵，以此类推。行列式计算并不局限于某一行，沿列进行也行之有效。
当矩阵中存在大量零元素时，代数余子式公式的优势尤为明显，它简化了复杂性，使得计算更加高效。
以上三种方法，每一种都揭示了行列式计算的不同侧面，它们共同构成了线性代数中不可或缺的基石，帮助我们理解和利用这一强大的数学工具。