一阶微分方程该怎么解？怎么才能熟练掌握呢？有经验的谈一下！

Question

如题所述

Answer 1

高等数学当中的一阶微分方程都是有固定解法的一类，解方程的关键是辨识要求解的方程是什么类型。我举几个例子：
可分离变量型，往往是y'=f(x)/g(y)或者y'=f(x)g(y)这种，直接移项变为g(y)dy=f(x)dx两边积分就可解。
求根公式型（包括常数变易法公式），往往是y'=p(x)y+q(x)的形式或者经非常简短的变形就可以化为这种形式，直接套用求根公式求解。
伯努利（Bernoulli）方程，y'=p(x)y+q(x)y^n，做代换z=y^(1-n)可解，高数中有y的2次方以上多数都是这种方程。
全微分方程，M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。高数当中不涉及可以化为全微分方程的题目，所以涉及的全微分方程都是直接就是这种形式。用凑微分法或者直接积分都能解。

如果是常微分方程课程里的一阶微分方程，黎卡提方程，雅克比方程，一阶隐方程，可化为全微分方程和积分因子法也需要掌握，但是解方程不是重点，重点是常数变易公式，黎卡提方程和雅阁比方程求解公式的推导以及广义的积分因子证明才是难点。重中之重是柯西问题的解决和证明，一般是以Lipschitz条件为蓝本进行的学习，对于后面的通解结构分析思想极为重要，对于信号学或者自动化相关的专业这个是根本问题。

Answer 2

多做题，多背背基本积分公式，数学没有什么窍门的，多用多练习就记住了。

Answer 3

一阶微分方程的一般形式是 F(y',y,x)=0(隐式)，如果可以化成 y'=f(y,x)(显式)(做到这步有时并不容易)，一般按以下步骤来解:
(1)考虑能否化成 y'=P(x)Q(y), 若能，则是变量可分离，分离变量，再两边积分。
(2)考虑能否化成 y'=p(y/x),若能，则是齐次微分方程，用变量替换u=y/x,化成(1).
(3)考虑能否化成 y'=P(x)y+Q(x),则是一阶线性微分方程，一阶齐次线性微分是变量可分离，一阶非齐次线性微分方程用常数变易法。
(4)化成 P(x,y)dx +Q(x,y)dy=0,判断是否为全微分方程，或者用积分因子化成全微分方程。
(5)化成 y' = P(x) y^n +Q(x),是伯努利方程，用变量替换z=y^(1-n)
(6)上述均未能解出，将方程写成dx/dy= f(x,y),视y为自变量，再按以上步骤考察。
(7)采用变量替换，如u=xy,或 u=x+y等，变形方程再考察。

最后说明，如果您是文史类数学（数学三），（4）（5）两种情况不须考虑。

Answer 4

df(x)=f'(x)dx 要熟练掌握求导