首先有一组公理叫做皮亚诺(Peano)算术公理.它由以下五条公理组成.
1.0是自然数
2.每一个自然数有一个后继是自然数.
3.0不是任何自然数的后继
4.如果两个自然数有相同的后继,那么这两个自然数相等.
5.对于任意一个关于自然数的性质P(n).如果n=0的时候P(0)为真,当P(n)为真可以推得出P(n+1)为真,则P(n)对于任意一个自然数为真.这个就是数学归纳法公理.
然后定义加法.因为这时加法没有定义.所以要定义.
定义运算+满足:
1_
0+m=m
2_
(n+)+m=(n+m)+
(注n+表示n的后继.
则
1+1=(0+)+1
(由公理2)
=(0+1)+
(由加法定义2)
=1+
(由加法定义1)
=2
(由公理2)
建议楼主去看看<陶哲轩实分析>里面给出了皮亚诺算术公理.然后定义加法.之后定义减法得到整数集.然后定义乘法除法得到有理数集.进而通过柯西列定义了实数(许多数学分析书籍是用戴德金分割的方法定义实数比如Rudin的<Principle
of
Mathematical
Analysis>"Baby
Rudin")