已知函数y=f(x)在定义域R上是增函数，值域（0 +无穷），且满足f（-x）=1/f（x）

Question

已知函数y=f(x)在定义域R上是增函数，值域（0 +无穷），且满足f（-x）=1/f（x）设F（X）=(1-f（x）)/(1+f(x))
求（1）y=F（X）的值域
（2）判断函数y=F（X）的奇偶性和单调性，并给与证明

Answer 1

(1)
F(x)=[1-f(x)]/[1+f(x)]
=[2-(1+f(x))]/[1+f(x)]
=2/[1+f(x)] -1
f(x)值域为(0，+∞)，1+f(x)>1，0<2/[1+f(x)]<2
-1<2/[1+f(x)] -1<1
-1<F(x)<1
y=F(x)的值域为(-1，1)
(2)
f(x)值域为(0，+∞)，1+f(x)>1>0，对于任意实数x，F(x)的表达式恒有意义，y=F(x)的定义域为R，关于原点对称。
F(-x)=[1-f(-x)]/[1+f(-x)]
=[1- 1/f(x)]/[1+ 1/f(x)]
=[f(x)-1]/[f(x)+1]
=-[1-f(x)]/[1+f(x)]
=-F(x)
y=F(x)是奇函数。
y=2/[1+f(x)] -1
f(x)在R上是增函数，且1+f(x)恒>0，随x增大，1+f(x)单调递增，2/[1+f(x)]单调递减，2/[1+f(x)] -1单调递减，y单调递减
y=F(x)在R上单调递减。