如果函数f(x)在区闷[a,b]上连续续且f(x)的定积分为0,证明在[a,b]上至少存在一个零点

Question

如果函数f(x)在区闷[a,b]上连续续且f(x)的定积分为0,证明在[a,b]上至少存在一个零点。

Answer 1

构造函数F(x)=∫[a,x] f(t)dt，x∈[a,b]。
由于f(x)在[a,b]上连续，故F(x)在[a,b]上连续且可导。
∵F(a)=0，F(b)=∫[a,b] f(t)dt=0，
∴根据罗尔定理，至少存在一点c∈[a,b]，使得F'(c)=0即f(c)=0。
故f(x)在[a,b]上至少存在一个零点。#