高中数学椭圆弦长最值问题

Question

第2问怎么做？要过程。

Answer 1

(1)由题意2a+2c=4+2√3
-b/a==-1/2
联立解得a=2,b=1
所求椭圆方程为x^2/4+y^2=1.
（2）以AB为直径的圆过O，即AO⊥BO。
设A(x1,y1),B(x2,y2),得x1x2+y1y2=0.
AB与x轴垂直时，不妨设A，B在一，四象限。此时易得A（2/√5,2/√5）,B（2/√5,-2/√5）.
此时|AB|=4√5/5.
AB不垂直于x轴，方程设为y=kx+m
代入椭圆方程，整理得
（4k^2+1）x^2+8kmx+4m^2-4=0
判别式=64k^2m^2-4（4k^2+1）(4m^2-4)＞0
x1+x2=-8km/（4k^2+1）,x1x2=(4m^2-4)/（4k^2+1）.
得m^2＜4k^2+1......(1)
又x1x2+y1y2=0.
即（k^2+1)x1x2+km(x1+x2)+m^2=0
易得5m^2=2k^2+2.......(2)
|AB|=√(k^2+1)√[64k^2m^2/（4k^2+1）^2-4.(4m^2-4)/（4k^2+1）]
=4√(k^2+1)√[（4k^2+1-m^2）/（4k^2+1）]
=4√3√[(k^2+1)(6k^2+1)/（4k^2+1）^2]
=
以下符号不好打，自己做吧。