有关二次函数的问题

Question

已知抛物线y=-1/2x2+6x-mx+m-3与轴有A．B两个交点关于y轴对称．求m.

Answer 1

因为抛物线中x作为分母，所以x不等于0，即两个交点都在x轴上，所以令y=0,方程有两根，交点关于y轴对称，所以方程的解为a和-a的形式。

方程整理后为2（6-m）x^3+2(m-3)X^2-1=0
三次方程正常应该有三个解，而实际上只有两个解
表明有个解是增根0；或者是x^3的系数为0，即三次方程实际上是2次方程；或者有重根

1)x=0代入方程不成立，所以不是其增根；

2)如果m=6,则方程变为x^2=1/6,满足题意

3)如果有重根，则可以分解因式，出现a（x+b）(x-b)^2=0的形式。（b可为负）
将之展开为ax^3+(a-2b)x^2+(ab-2b^2)x+ab^3=2（6-m）x^3+2(m-3)X^2-1
对应项系数相等，所以
2（6-m）=a （1）
2(m-3)=a-2b （2）
ab-2b^2=0 （3）
ab^3=1 （4）
如果上面方程组有解，则m值为所求值之一，如果没解，则这种情况不成立
由第三式得b=0或b=2a
b=0代入（4）不成立
如果a=2b,代入（2）得m=3,再代入（1）得a=6,所以b=12
a=6,b=12代入（4）不成立，
所以该方程组无解

因此只有上面所说的第二种情况，即m=6

Answer 2

已知抛物线y=-1/2x2+6x-mx+m-3与轴有A．B两个交点关于y轴对称．求m
解:由题意可知抛物线与x轴又两个交点,即方程
-1/2x2+6x-mx+m-3=0的两根x1,x2关于y轴对称
所以x1+x2=2(6-m)=0
m=6