第3个回答 2013-12-18
应用题既是小学数学学习的重点和难点，也是培养学生思维能力的第一重要工具，因为解答应用题的过程不仅可以综合训练学生的抽象思维（左半脑），而且可以综合训练学生的形象思维（右半脑）。
由于解答应用题涉及到转化、比对、分析、综合、假设、尝试、猜想、验证、推算等过程，对同学们的逻辑思维能力和解题技巧能力要求较高，所以很多同学拿到一道应用题，常常感到无从入手。
实际上，如果从解答应用题的思维过程来分类，我们可以把应用题分为三类。第一类应用题（约占60%），在解答过程中，需要将应用题的数学语言 “转化”成“图形语言”，即需要运用数形结合思想；第二类应用题（约占30%），在解答过程中，需要将应用题的数学语言 “转化”成“符号语言”，即需要运用符号化思想；第三类应用题（约占10%），在解答过程中，需要将应用题的数学语言 “转化”成固定的“逻辑语言” （逻辑结构和逻辑推理），即需要运用逻辑思想。由于小学生是以形象思维为主，且正处在抽象思维和逻辑意识开始萌芽的年龄段，所以针对绝大多数学生的智力发展水平和特点必须借助于“图形”和“符号”以及“逻辑”来分析应用题的内在数量关系，这不仅符合课程改革的新课标理念，而且也符合小学生的心理发展规律。
因此，当同学们拿到应用题不知道该怎么办时，可以拿出“演算本”首先考虑能否贴着题意画出示意图，如果不能或不简便，再考虑能否用符号关系式来表示数量关系，如果这两种方法都不太“灵”，就要用“逻辑推理”来理解题意了。
笔者坚决反对：同学们在解答应用题时，在还没有理解题意的前提下就套用公式或列起算式，这样无异于“囫囵吞枣”。笔者建议：同学们在解答应用题前，应花大约30秒的时间对题目进行观察、比较和简单推算，这不仅有利于提高同学们的观察能力（第一重要）、比较能力（第二重要）和推算能力（十分重要），而且有利于同学们理解题意。通过运用“能力”导出“思维”方式，再通过“思维”确定解题“方法”，在运用“方法”的过程中掌握“技巧”，从而不仅能够正确迅速地解出题目，而且思维能力也能够得到有效训练，同时也能具体体验方法和技巧的灵活运用，达到通过解答应用题来提高能力、训练思维、运用方法、展现技巧、塑造逻辑意识的目的。
下面具体谈一谈解答小学数学应用题的规律性方法。
一、 拿到一道应用题该怎么办？
1. 以数形结合思想（转化为图形语言）来打通思路和理解题意，其题型解法如下：
在解答“和倍应用题、差倍应用题、和差应用题以及年龄应用题”这四种应用题时，都是先通过观察来找到“倍”或“比”字；再通过比较，优先画出倍数关系的数量关系，如果有几个倍数关系，则还要画出倍数关系之间的联系；如果没有倍数关系，而只有多少关系（“比较”关系），则一般先画出最小的量；然后通过“比较”打通思路，找出已知数量之间的联系，通过“假设”求出“整倍”的“和”，从而求出一倍量，再代入求出几倍量。
在解答“还原应用题（一）”时，首先根据题意画出图形，通过图形来表示数量关系；再通过求“一半”来不断倒推，从而求出“全部”。在解答“植树应用题”时，首先根据题意画出形象示意图，再通过图形找出“总长”与“间距”以及“间隔数”与“棵数”之间的对应和差量关系，从而求解。
在解答“方阵应用题”时，首先按照“和差应用题”的画图方法，根据题意画出部分的方阵示意图，再根据方阵每边长与每层长的计算方法或找出方阵相邻每边长或相邻每周长的规律来求解。
在解答“平均应用题”时，关键是要掌握画图的技巧，先根据题意巧妙地画出示意图后，再运用“平均的含义”和“重叠的知识”以及“移多补少的思路”来求解。
在解答“相遇应用题”时，通常很难画出精确的示意图，只能画出路程和时间以及速度之间的“动态”关系，但如果同学们在画图时掌握一定的技巧，则可以十分直观地、有效地通过图形确定（相遇）路程、（相遇）时间以及速度和之间的数量关系。其中确定速度之间的差量关系和确定路程之间的总量关系以及确定时间之间的相等（相同）关系是十分重要的。在解答“追及应用题”时，画图的关键是要画出路程差和速度差之间的数量关系，其中路程差包含有多少个速度差要尽量画得直观、清晰。可用省略号来表示追击时间，这是一种表示未知的重要技巧。
在解答“行程应用题（一）”时，要学会用图形来表示火车、隧道等特殊问题之间的相对关系，当相遇问题和追及问题融合在一起的时候，画图要注意画出关键的数量关系，并能通过分析和逻辑推理，同时借助于想象，将动态问题化为静态图形，解答过程中需要不断地进行“路程”、“速度”和“时间”之间的转化和比对。
在解答“分数应用题（一）”时，画图的关键：一是要将“分率”画在线段图上面，将具体数量画在线段图下面，以便区别对比，从而通过公式“对应量÷对应分率=标准量（单位1）”来求解；二是一定要将标准量（单位1）统一，常见的方法是用“标准量代换法”和“乘法分配律法”；三是当“单位1”有两个以上时，一定要以“不变量”作标准（单位1）或转化成“不变量”作标准（单位1），同时可根据分数的意义，将“份数”的线段图表示方法引进到画图中，这样可以十分巧妙地化繁为简。
2. 以符号化思想（转化为符号语言）来打通思路和理解题意（包括找出等量关系式从而辩证地运用方程来求解），其题型解法如下：
在解答“还原应用题（二）”时，首先要贴着题意走，将数学语言转化成符号语言，即用“数学运算符号”来表示数量之间的关系，然后运用一步步还原倒推的逻辑思维方法以及四则运算的意义来求出未知的量。
在解答“对应应用题”时，首先要根据题意列出符号化的几个等量关系式，再进行“比对”和“调整”，通常用等式的性质和“扩倍法”或“代入法”以及“抵消法”来使某个量变得相同，从而找出另一个量与差量之间的变化关系，整个过程渗透着函数的变化思想，这会为以后学习方程打下坚实的基础。
在解答“错解应用题”时，在贴着题意走的时候，要讲究符号化的思维顺序（就跟汉字有笔顺一样），怎样使符号化思想的过程符合逻辑的题意表达十分重要。在画图时要牢牢抓住“变”量与“不变”量，同时运用乘法分配律的思想和省略号的形式来推出和表达出一些隐含和未知的数量，其中有关“数位的含义”以及“商的含义”的理解，对同学们的理解能力的要求比较高，同学们可通过“赋值法”去理解和体会。
在解答“典型应用题、文字应用题、复合应用题、行程应用题（二）、特殊应用题、分数应用题（二）”这六种应用题时，都是“一找等量关系式；二看谁知谁不知；三列方程解x”。其中“一找等量关系式”不仅是一种符号化的思想，而且突破了解方程必须先设未知数（直接设不可行再回头间接设）的误区，主张谁不知道就设谁的科学学习过程。“找等量关系式”：一是直接在题目中根据比较关系、倍数关系、相等关系、公式关系、不变关系等找出等量关系式；二是题目中如果不能直接找出等量关系式，则要根据逻辑关系进行推理或者挖掘出隐含的等量关系式。需要强调的是，如果一个题目有几个等量关系式，则要优先选择一个既方便解方程的等量关系式作为列方程的等量关系式，又要兼顾其余的一个或几个等量关系式作为设未知数的等量关系式。总的来说，一般以加减关系和总量不变关系等来列方程，以乘除关系和数量、单量来设未知数比较简便。在解方程中，运用最多的通常是乘法分配律和等式两边同时扩倍的方法（当有分数或除数时）；移项的规则一般是大数不动，小数移过来，当然移项的时候要记得变符号（可运用“等式的性质”，即等式两边同时加上要移的数的相反数来证明）。在解答“分数应用题（三）”时，需要将“是”字转化成“=”或“÷”号，将“的”字转化成“×”号或“=”号（乘法的两种含义：几个几以及一个数的几倍或几分之几用乘法；除法的三种含义：平均除、包含除、倍数除），其中要注意：①如果是“比”或“大”或“多”字，一定要先转化成“是”字；②分率不是具体分数，是不能单独存在的，必须先找出每个分率的标准量（单位1）；③ “单位1”之所以被看做“1”，一是因为渗透着相对论的思想，二是因为可以用验证法把“单位1”设成字母，然后在运算中可“自然抵消”掉，只剩下“1”，即当把A看做“1”时，2A就是“2”，1/3A就是“1/3”，同学们可以自己去体会，就跟方程两边运用等式的性质进行扩倍或增加或减少一样，都既不影响未知数的大小，也保持等式的大小不变。
3. 以逻辑思想（转化为逻辑结构和逻辑语言）来打通思路和理解题意，其题型解法如下：
在解答“鸡兔应用题”时，其逻辑结构语言为：“假设”所有数量都是A，则通过“比较”与实际总量会有一个差量，寻找“原因”是因为……“对应”可以求出数量B，最后“代入”求出数量A。这种题型的特点通常是已知数量之和与总量之和，求数量各是多少。
在解答“盈亏应用题”时，其逻辑结构语言为：“比较”盈或亏的差量（一定要同质同量，均为具体单量），寻找“原因”是因为每份数量的单量相差……通过“对应”可以求出相同的数量，然后“代入”两种分配方案的任何一种，均可求出相同的总量。这种题型的特点通常是分配的总量相同、数量相同，不同的是每份数量的多少以及所盈或所亏的具体量。要特别注意：只要掌握最基本的盈亏题型，很多复杂的盈亏题型都可以转化成基本题型，从而化繁为简，这种以“不变应万变”的触类旁通的思想，不仅很重要，而且很有效。
在解答“归一应用题”时，一般通过“归一”或“归总”求出单一量或总量后，再代入求出所求。其中A数量相当于长方形的“长”，B数量相当于长方形的“宽”，总量相当于长方形的“面积”，单一量相当于“面积单位”。
在解答“牛顿应用题”时，其逻辑结构语言为：“假设”每头牛每周（天）的吃草量为1份，“对应”求出每周（天）长出的新草份数，再“比较”求出原有的草量的份数，通过“代入”求出一部分牛吃新草、一部分牛吃原草的周（天）数，即得所求结果。这种题型的特点一般是已知匀速生长的草，A头牛吃B周（天），C头牛吃D周（天），然后问E头牛要吃几周（天）？
在解答“时钟应用题”时，其逻辑结构语言为：先求“路程差（和）”，再求“速度差（和）”，最后求出“追及（相遇）时间”或分别求出“度数”与“时间”之间的“分率”关系。
在解答“工程应用题”时，其逻辑结构语言为：“转化思想+比较思想+公式思想”。其中“转化”主要有工作时间转化成工作效率以及拆分工作时间、拆分工作效率；“公式”主要是“工作总量÷工作时间=工作效率”和“工作总量÷工作效率=工作时间”以及“工作效率×工作时间=工作总量”。在解答“浓度应用题”时，其逻辑结构语言为：根据“溶质不变（相等）”或“溶剂不变（相等）”或“混合前后溶质不变（相等）”等来列出等量关系式，从而求解。
在解答“价格应用题”时，其逻辑结构语言主要为：根据“问题符号化”或“利润率=利润÷成本=（定价-成本）÷成本”或“成本+利润=定价”或“成本+成本×利润率=定价”或“成本×（1+利润率）=定价”或“成本×（1+利润率）×数量=总定价”等来列出数量关系式，从而求解。
在解答“比例应用题”时，其逻辑结构语言为：先根据“比的大小不变的性质”以及“不变量作为单位1”或“时间一定（不变），路程和速度成正比”或“路程一定（不变），速度和时间成反比”等列出比或比例关系，再进行推算求解。此类题的核心是要牢牢抓住“变”和“不变”。
二、一道应用题做不下去怎么办？
同学们通常会遇到以下三种情况：
第一，同学们可能会遇到条件方面的处理问题。一道题虽然有时有多余的干扰条件，但一般都不会缺少条件，所以做不下去时要首先回到条件，一看条件是否用完，二看能否挖掘出隐含条件，三看能否创造新条件。一定要不断地回到条件和联系条件，才能把条件处理到位。
第二，同学们可能会遇到知识点方面的欠缺问题。一定要查找一下自己欠缺哪方面的知识点，由于数学讲究知识的连贯性，所以同学们一定要通过这种查缺补漏来扎实学好每个知识点，而决不能投机取巧。同学们只有学好数学基础知识（包括基本原理、基本法则和基本定律），打下坚实的数学基础，才可能实现知识性方面的突破。“巧妇难为无米之炊”就形象地说明了基础知识和基本技能的重要性。
第三，同学们可能会遇到逻辑意识的缺乏问题。逻辑是构建数学学科的基础，数学离不开逻辑。无论是理解数学概念，还是进行数学的归纳推理，同学们都需要运用逻辑思维。如果同学们解题时缺乏逻辑意识或逻辑思维不严谨，不仅无法保持清醒的头脑和清晰的思维，而且也容易得出错误的结果。同学们要在平时的学习过程中有意识地训练和培养自己的逻辑意识，使自己在认识问题和解决问题的过程中，要遵循一定的逻辑顺序（即从因到果，从主到次，从整体到部分，从概括到具体，从现象到本质，从具体到一般），要满足一定的逻辑规律（即同一律、矛盾律、排中律），这样可以按照逻辑顺序和依据逻辑规律养成“推”的逻辑意识。具体来讲，同学们在做题时可以通过不断地自己提问“为什么？是什么？怎么样？”这样可以把思路不断地延展下去，同时多对条件进行“比较”、“转化”、“假设”、“对应”、“代入”、“尝试”等，就可以有效打通解题思路。通常解题的逻辑思路是：从问题出发寻找需要的条件或者从条件出发推向问题。不管运用哪种思路，都要保持思路的逻辑严谨和清晰。解题时运用题目本身的内在逻辑结构进行演绎或归纳，可以使同学们的思维水平得到十分明显的提高。
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