上极限是1，下极限是-1.反证法，sin是有界函数，且界小于等于1大于等于-1，现在只需要证明1是数列的上确界，则必有一个数列收敛于上确界（因为不可能存在某个an等于上确界，因为只有调和级数的部分和是有理数，而sin有理数不可能等于1），从而上确界即为上极限。同理，下确界即为下极限。假设上确界a不等于1，因为a1>0，所以a>0，因为a是上确界，必有一个子序列从左边趋向于a,那么存在足够大的k,使得a-r<ak<a (r足够小)，因为调和级数是发散的，而k又足够大，所以必然存在n，使得arcsina-arcsin(a-r)< 1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+……+1/n<pi-2arcsin（a），或者arcsina-arcsin(a-r)<1/k+1/(k-1)+……1/(n-1)<pi-2arcsin（a），从而an>a，这与a是上确界矛盾。所以必有a=1.同理可证明下确界为-1，继而上下极限就是上下确界。 这里的证明比较不严谨，你自己把证明过程用更加严谨的数学语言表示出来吧。 至于第二问极限点的分布状况，这个问的有些暧昧，也不太好回答极限点的疏密情况，极限点应该是可数的，而不是有限的。第二问我就无能为力了。
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