如何利用三角代数求函数的值域

Question

(1)y=x+根号(1-x2)+3
(2)y=根号(x-4)+根号(15-5x)
(3)y=2根号(x+3)+根号(2-x)
(4)y=根号(1+x)-根号x
谢谢大家能解下这4道题，让我能找到方法。

Answer 1

1．观察法
用于简单的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数。
y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）
3. 换元法
多用于复合型函数。
通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量（新量）的变化范围。
y=-x+2√( x-1)+2
令t=√(x-1),
则t≤0, x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1].
4. 不等式法
用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。
y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).
0<x<1,
1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,
1/(e^x-1)>1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).
5. 最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6. 反函数法
有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.
7. 单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为
[f(b), f(a)].

Answer 2

(1)∵x∈(-1,1)，∴令x=sinθ
则y=sinθ+√(1-sinθ^2)+3=sinθ+cosθ+3=√2sin(θ+π/4)+3
可见y的值域为[3-√2,3+√2]

(2)由前一个根号得x≥4，由后一个根号得x≤3，可见定义域为空集，故y的值域为空集.

(3)令t=√(2-x)，则t^2=2-x , x=2-t^2，∵x∈[-3,2]∴t∈[0,√5)，代入，得：
y=2√(5-t^2)+t
再令t=√5sinθ，∵t∈[0,√5],∴θ∈[2kπ,π/2+2kπ]
代入，整理得：
y=2√5cosθ+√5sinθ=5sin(θ+φ),φ=arctan1/2,则y的最大值为5，最小值很麻烦，最好能算出arctan1/2等于多少弧度，再代进去用正弦函数的性质来得出，其实是当x=-3时取得最小值√5.
用导数可以算出，不过也颇为麻烦.

(4)x∈[0,+∞],当x→0,y→1，当x→+∞,x+1≈x,y→0,∴y∈(0,1]

仅供参考吧。

Answer 3

笨哪 这都不会啊 哎 把问题打出来很麻烦的