arccosx泰勒展开式是：
令f(x)=(arccosx)'=-1/√(1-x^2)
f(0)=-1，则f'(x)=-x/(1-x^2)^(3/2)=x/(1-x^2)*f(x)
f'(0)=0，即(1-x^2)f'(x)=xf(x)
两边求n阶导：(1-x^2)f^(n+1)(x)-2nxf^(n)(x)-n(n-1)f^(n-1)(x)=xf^(n)(x)+nf^(n-1)(x)
令x=0：f^(n+1)(0)-n(n-1)f^(n-1)(0)=nf^(n-1)(0)
f^(n+1)(0)=n^2f^(n-1)(0)
加上f(0)=-1和f'(0)=0得：
f^(2n+1)(0)=0,f^(2n)(0)=-[(2n-1)!!]^2 (n>0)
所以f(x)=-(1+(1!!)^2/2!*x^2+(3!!)^2/4!*x^4+...+((2n-1)!!)^2/(2n)!*x^(2n)+...)
=-(1+1/2!*x^2+3!!/4!!*x^4+...+(2n-1)!!/(2n)!!*x^(2n)+...)
所以arccosx=π/2+∫(0→x)f(x)dx
=π/2-(x+1/2!*x^3/3+3!!/4!!*x^5/5+...+(2n-1)!!/(2n)!!*x^(2n+1)/(2n+1)+...)
几何意义：
泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。