有图题：将二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3化为标准形，并写出相应的可逆线性变换

Question

没有人做呀，新手财富值不多，在提高10点，没有了！大神们高手们帮帮忙吧，明天交卷了。

Answer 1

【解答】

f（x1，x2，x3）=（x1²+2x1x2+2x1x3）+（2x2²+4x2x3）+x3²

=（x1+x2+x3）²+（x2+x3）² -x3²

令y1=x1+x2+x3

y2=x2+x3

y3=x3

将二次型f（x1，x2，x3）化为 f（y1，y2，y3）=y1²+y2²-y3²

x1=y1-y2

x2=y2-y3

x3=y3

可逆线性变换 x=Cy

矩阵C为

1 -1  0

0  1 -1

0  0  1

二次型历史：

二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。

柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。

西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

Answer 2

【解答】
（配方法）
f（x1，x2，x3）=（x1²+2x1x2+2x1x3）+（2x2²+4x2x3）+x3²
=（x1+x2+x3）²+（x2+x3）² -x3²
令y1=x1+x2+x3
y2=x2+x3
y3=x3
将二次型f（x1，x2，x3）化为 f（y1，y2，y3）=y1²+y2²-y3²
x1=y1-y2
x2=y2-y3
x3=y3
可逆线性变换 x=Cy
矩阵C为
1 -1 0
0 1 -1
0 0 1

newmanhero 2015年3月14日23:36:35

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