将函数展开成x的幂级数 fx=x/根号下（1-2x），并指出展开式成立的范围

Question

如题所述

Answer 1

f(x)=x/√（1-2x），1-2x>0,x<1/2
=-(1/2)[-2x+1-1]/√（1-2x）
=-(1/2)√（1-2x）+(1/2)/√（1-2x）
设g(x)=√（1-2x）,g'(x)=(1/2)(-2)/√（1-2x）=-1/√（1-2x）
求g(x)的幂函数，求导，得到-1/√（1-2x）的幂级数，代入合并即可。
g"(x)=(-1)(-1/2)(-2)（1-2x）^(-3/2)=-（1-2x）^(-3/2)
g^(3)(x)=-(-3/2)(-2)（1-2x）^(-5/2)=-3（1-2x）^(-5/2)
g^(4)(x)=-3(-5/2)(-2)（1-2x）^(-7/2)=-3×5（1-2x）^(-7/2)
=-1×3×5（1-2x）^(-7/2)
=-1×2×3×4×5/（2×4）×（1-2x）^(-7/2)
=-5！/2²2！×（1-2x）^(-7/2)
g^(k)(x)=-(2k-3)!/[2^(2k-5)×（2k-5）!]（1-2x）^[-(2k-1)/2]
g(0)=1
g'(0)=-1
g"(0)=-1
g'''(0)=-3
g^(4)(x)=-3×5=-5！/2²2！
....
g^(k)(0)=-(2k-3)!/[2^(2k-5)×（2k-5）!]
根据麦克劳林级数
g(x)=g(0)+g'(0)x/1!+g"(0)x²/2！+g'''（0）x³/3！+..+g^(k)(0)x^k/k!+....
=1-x-x²/2-x³/2-...-(2k-3)!x^k/[2^(2k-5)×（2k-5）!k!]-......
g'(x)=-1-x-3x²/2-...-(2k-3)!x^（k-1）/[2^(2k-5)×（2k-5）!（k-1）!]-......

Answer 2

原式=x/(1-x)(1+2x)=1/3[1/(1-x)-1/(1+2x)]
=1/3[(1+x+x^2+...)-(1-2x+4x^2-8x^3+..)]
=1/3[3x-3x^2+9x^3+.+(1-(-1)^n*2^n)x^n+...]
收敛域为|x|