提问一道超难的数学压轴题，是我月考中碰到的。（有关旋转）
26.（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0,4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO9与AB重合，得到△ABD。
（1）求直线AB的解析式。（这个会）
（2）当点P运动到点（根号3,0）时，求此时DP的长及点D的坐标。
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于4分之根号3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
GHOST WIN
第1个回答 2011-03-28
解：
（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：
BF=OE=2，OF= 42-22= 23，
∴点B的坐标是（ 23，2）
设直线AB的解析式是y=kx+b，则有 {4=b2=23k+b．
解得 {k=-33b=4．
∴直线AB的解析式是y= -33x+4；
（2）如图，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP= 42+(3)2=19．
如图，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
∴BG=BD•cos60°= 3× 12= 32．
DG=BD•sin60°= 3× 32= 32．
∴OH=EG= 523，DH= 72
∴点D的坐标为（ 523， 72）
方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，
∴ BGAE=DGBE=BDAB；而AE=2，BD=OP= 3，BE=2 3，AB=4，
则有 BG2=DG23=34，解得BG= 32，DG= 32；
∴OH= 523，DH= 72；
∴点D的坐标为（ 523， 72）．
（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于 34．设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG= 32t，
∴DH=2+ 32t．
∵△OPD的面积等于 34，
∴ 12t(2+32t)=34，
解得 t1=21-233， t2=-21-233
∴点P1的坐标为（ 21-233，0）．
②当 -433＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，BG=- 32t，
∴DH=GF=2-（- 32t）=2+ 32t．
∵△OPD的面积等于 34，
∴ -12t(2+32t)=34，
解得 t1=-33， t2=-3，
∴点P2的坐标为（ -33，0），点P3的坐标为（ -3，0）．
③当t≤ -433时，如图，BD=OP=-t，DG=- 32t，
∴DH=- 32t-2．
∵△OPD的面积等于 34，
∴ 12t（2+ 32t）= 34，
解得 t1=21-233（舍去）， t2=-21-233
∴点P4的坐标为（ -21-233，0），
综上所述，点P的坐标分别为P1（ 21-233，0）、P2（ -33，0）、P3（ -3，0）、
P4（ -21-233，0）．
（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：
BF=OE=2，OF= 42-22= 23，
∴点B的坐标是（ 23，2）
设直线AB的解析式是y=kx+b，则有 {4=b2=23k+b．
解得 {k=-33b=4．
∴直线AB的解析式是y= -33x+4；
（2）如图，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP= 42+(3)2=19．
如图，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
∴BG=BD•cos60°= 3× 12= 32．
DG=BD•sin60°= 3× 32= 32．
∴OH=EG= 523，DH= 72
∴点D的坐标为（ 523， 72）
方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，
∴ BGAE=DGBE=BDAB；而AE=2，BD=OP= 3，BE=2 3，AB=4，
则有 BG2=DG23=34，解得BG= 32，DG= 32；
∴OH= 523，DH= 72；
∴点D的坐标为（ 523， 72）．
（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于 34．设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG= 32t，
∴DH=2+ 32t．
∵△OPD的面积等于 34，
∴ 12t(2+32t)=34，
解得 t1=21-233， t2=-21-233
∴点P1的坐标为（ 21-233，0）．
②当 -433＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，BG=- 32t，
∴DH=GF=2-（- 32t）=2+ 32t．
∵△OPD的面积等于 34，
∴ -12t(2+32t)=34，
解得 t1=-33， t2=-3，
∴点P2的坐标为（ -33，0），点P3的坐标为（ -3，0）．
③当t≤ -433时，如图，BD=OP=-t，DG=- 32t，
∴DH=- 32t-2．
∵△OPD的面积等于 34，
∴ 12t（2+ 32t）= 34，
解得 t1=21-233（舍去）， t2=-21-233
∴点P4的坐标为（ -21-233，0），
综上所述，点P的坐标分别为P1（ 21-233，0）、P2（ -33，0）、P3（ -3，0）、
P4（ -21-233，0）．
第2个回答 2011-03-28
什么超难呀，小菜！我来，不要抢我的，等我20分钟。
要有高中全部数学基础，高二可能不行。
2）a) AO已知，OP已知，故三角形AOP全知，（所有边、角均可求出）；
b) 三角形AOP与ABD全等，又三角形AOB为等边三角形，所以，三角形AOD中已经有角OAD及边AO、AD已知（AD=AP），所以三角形AOD全知，可得OD。
c) D点作线垂直X轴，得点E，因三角形APD可求得全知，所以得DP，
d) 在三角形DPE 中，已有角DPE，及直角一个DEP，及边DP，所以可求得PE，从而得OE长度，及DE。
计算自己做！！！
（3） a) 因P点可动，且可连续动，所以OP为0—无限大的数，其为三角形OPD的底，而三角形OPD的高为B点高度（为2）加上一个（OP的函数值），三角形OPD的面积为：
0.5*OP*（2+f(OP)）， f(OP)为一个0--无限大的，可连续变化的正数。
所以基本可确定，要求的P点存在。[ 这只是分析，解题不用。 ]
b) 设P点存在，满足所提条件。作BF垂直DE，（DE垂直X轴，E在OX上），得三角形DBF，则可求得角DBF为60度，所以DF=BD*正弦60度= OP *正弦60度
三角形OPD的面积为 ： 0.5*OP *（2+OP*0.5*根号3） = 0.25根号3
解方程得到OP。
（2）中，是不计成本（计算的复杂度）的想法，其实可用更简单的方法求得DE，也就是在第三问的做法。DB延长交X轴于H，三角形DEH及三角形DBF相似，又有DB=OP，EF=2（作BG垂直于Y轴可轻易求得）。
角OAB与角DBF两边分别垂直，所以相等，为60度。所以DE= 2+BD*正弦60度= 2+OP *正弦60度=0.5*OP *（2+OP*0.5*根号3），
通过三角形DEH，求得PE，从而得OE，得D点坐标（OE，DE）；
通过直角三角形DPE，用 a平方+b平方=c平方 ，可解得DP。
要有高中全部数学基础，高二可能不行。
2）a) AO已知，OP已知，故三角形AOP全知，（所有边、角均可求出）；
b) 三角形AOP与ABD全等，又三角形AOB为等边三角形，所以，三角形AOD中已经有角OAD及边AO、AD已知（AD=AP），所以三角形AOD全知，可得OD。
c) D点作线垂直X轴，得点E，因三角形APD可求得全知，所以得DP，
d) 在三角形DPE 中，已有角DPE，及直角一个DEP，及边DP，所以可求得PE，从而得OE长度，及DE。
计算自己做！！！
（3） a) 因P点可动，且可连续动，所以OP为0—无限大的数，其为三角形OPD的底，而三角形OPD的高为B点高度（为2）加上一个（OP的函数值），三角形OPD的面积为：
0.5*OP*（2+f(OP)）， f(OP)为一个0--无限大的，可连续变化的正数。
所以基本可确定，要求的P点存在。[ 这只是分析，解题不用。 ]
b) 设P点存在，满足所提条件。作BF垂直DE，（DE垂直X轴，E在OX上），得三角形DBF，则可求得角DBF为60度，所以DF=BD*正弦60度= OP *正弦60度
三角形OPD的面积为 ： 0.5*OP *（2+OP*0.5*根号3） = 0.25根号3
解方程得到OP。
（2）中，是不计成本（计算的复杂度）的想法，其实可用更简单的方法求得DE，也就是在第三问的做法。DB延长交X轴于H，三角形DEH及三角形DBF相似，又有DB=OP，EF=2（作BG垂直于Y轴可轻易求得）。
角OAB与角DBF两边分别垂直，所以相等，为60度。所以DE= 2+BD*正弦60度= 2+OP *正弦60度=0.5*OP *（2+OP*0.5*根号3），
通过三角形DEH，求得PE，从而得OE，得D点坐标（OE，DE）；
通过直角三角形DPE，用 a平方+b平方=c平方 ，可解得DP。
第3个回答 2011-03-29
第一题，你既然会，就不说。反正也容易
第二题，我觉得你可能忘了旋转的定义了，当AO旋转至AB时，它旋转了60度，所以AP旋转到AD也旋转了60度，并且AP=AD，所以三角形ADP是等边三角形。只要计算出AP的长度就能知道DP的长度，如果我没有计算错误的话，应该为根号19。至于D点坐标就不说了吧，应该很简单。
第三题，与第二题差不多，只是现在先设OP=x，然后DB=x，过D做x轴的垂线DE，过B点做DE的垂线BF，由题意可知角DBF为60度，所以DE=（根号3）*0.5x，BF=0.5x；所以D点的坐标就可以求出（第二题也可以这样做），这样就可以利用D点的纵坐标来就△OPD的面积。当然，得分情况讨论。具体就不说了。
第二题，我觉得你可能忘了旋转的定义了，当AO旋转至AB时，它旋转了60度，所以AP旋转到AD也旋转了60度，并且AP=AD，所以三角形ADP是等边三角形。只要计算出AP的长度就能知道DP的长度，如果我没有计算错误的话，应该为根号19。至于D点坐标就不说了吧，应该很简单。
第三题，与第二题差不多，只是现在先设OP=x，然后DB=x，过D做x轴的垂线DE，过B点做DE的垂线BF，由题意可知角DBF为60度，所以DE=（根号3）*0.5x，BF=0.5x；所以D点的坐标就可以求出（第二题也可以这样做），这样就可以利用D点的纵坐标来就△OPD的面积。当然，得分情况讨论。具体就不说了。