（1）证明不等式： ；（2）已知函数f（x）=ln（1+x）- 在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（

Question

（1）证明不等式： ；（2）已知函数f（x）=ln（1+x）- 在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若关于x的不等式 在[0，+∞）上恒成立，求实数b的最大值。

Answer 1

解：（1）令 ， 则 ， ∴g(x)在（0，+∞）上单调递减，即g(x)<g(0)， 从而 成立； （2）由 ， 当x=0或 时， ， 由已知得 在（0，+∞）上恒成立， ∴ ， 又f(x)在（0，+∞）有意义， ∴a≥0， 综上： ； （3）由已知 在[0，+∞）上恒成立， ∵ ， 当x>0时，易得 恒成立， 令 得 恒成立， 由（2）知：令a=2得：ln（1＋x）> ， ∴ ；           由（1）得： ， 当 时， ； ∴当 时， 不大于 ； ∴ ； 当x=0时，b∈R， 综上： 。