第4个回答 推荐于2017-11-24
一阶导数f'(x)代表函数f的增减性（单调性），如果在区间[a,b]上f'(x)>0表示f(x)在[a,b]上是单调递增函数，f'(x)<0表示f(x)在[a,b]上是单调递减函数，如果对某点x0，f'(x0)=0表示在x0点是极值点或鞍点（拐点）。
二阶导数f''(x)表示：（1）斜线斜率变化的速度；（2）函数的凹凸性。
二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的。
应用：
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
函数极值的判定
[定理4.6]
如果函数f(x)在x0附近有连续的二阶导数f"(x)，且f'(x0)＝0，f"(x)≠0，那么
⑴若f"(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值
⑵若f"(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值
曲线的凹凸性
设函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的，
如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方，则称曲线在(a,b)内是凸的。
从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段向下弯曲是凸的。
[定理4.7]
设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b)内f"(x)＞0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的，如果在(a,b)内f"(x)＜0，那么对应的曲线在(a,b)内是凸的。
曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。
因此拐点一定是使f"(x)＝0的点，但是使f"(x)＝0
的点不一定都是拐点。
[求拐点的一般步骤]
⑴ 求二阶导数f"(x)；
⑵ 求出f"(x)＝0的全部实根；
⑶ 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的
符号，如果x0两侧f"(x)的符号不同，则点(x0,f(x0))
是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点
(x0,f(x0))不是曲线的拐点。
利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准
确地用描点法描绘函数的图象。
一般步骤为：
⑴ 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函
数图象和两坐标轴的交点；
⑵ 计算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极值
点和增减区间；
⑶ 计算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹凸
区间；
⑷ 计算驻点、拐点处的函数值；
⑸ 列表，描绘函数的图象。本回答被提问者采纳