请问幂函数有哪些性质？

Question

如题所述

Answer 1

性质：

一、正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

1、图像都经过点（1，1）（0，0）。

2、函数的图像在区间[0，+∞）上是增函数。

3、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）。

二、负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

1、图像都通过点（1，1）。

2、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

幂函数的特性

对于α的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果

，q和p都是整数，则

，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数α是负整数时，设α=-k，则

，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

α小于0时，x不等于0；α的分母为偶数时，x不小于0；α的分母为奇数时，x取R。