y=x^(1/3)
那么:
y'=lim(dx->0) [(x+dx)^(1/3) -x^(1/3)] /dx
注意由立方差公式可以得到:
(x+dx)^(1/3) -x^(1/3)
=(x+dx -x) / [(x+dx)^(2/3) + (x+dx)^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]
=dx / [(x+dx)^(2/3) + (x+dx)^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]
所以:
y'=lim(dx->0) 1 / [(x+dx)^(2/3) + (x+dx)^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]
代入dx=0
得到:
y'= 1 /[x^(2/3) +x^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]
=1/3 *x^(-2/3)
函数可导的条件:
如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件:函数在该点的左右导数存在且相等,不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等,并且在该点连续,才能证明该点可导。
可导的函数一定连续;连续的函数不一定可导,不连续的函数一定不可导。