已知y=f(x)是定义在[-2,2上的奇函数,且f(1)=0在(0,2]上为增函数,解不等式x×f

Question

已知函数f(x)为定义在[-2,2]上的奇函数,且它在[-2,0]上是增函数 （1）求f（0）的值
（2）证明：f（x）在[0,2]上也是增函数
（3）若f（a-1）+ f（-1）＜0,求实数a的取值范围

Answer 1

(1)f(x)是奇函数,则f(x) = -f(-x)
取x = 0
则有
f(0) = -f(-0) = -f(0)
所以
f(0) = 0
由此可以说明对于任意奇函数,f(0)一定为0
(2)
在[0,2]上取 x1 < x2,则-x1与-x2 在[-2,0]上
-x1 > -x2
而f(x)在[-2,0]上为是增函数
则
f(-x1) > f(-x2)
由于函数是奇函数
-f(x1) > -f(x2)
再取负有
f(x1) < f(x2),结合x1 < x2
所以函数在[0,2]上也是增函数
(3)
f(a-1) + f(-1) < 0
移项
f(a - 1) < -f(-1)
由函数是奇函数
f(a - 1) < f(1)
而函数在[-2,2]上是增函数
则a - 1 < 1
即a < 2
另一方面要满足定义域
-2