线性代数：看图，求此非其次线性方程组的通解，特解,一般解，全部解，和其对应其次方程的通解，特解，一

Question

线性代数：看图，求此非其次线性方程组的通解，特解,一般解，全部解，和其对应其次方程的通解，特解，一般解，全部解，写到纸上！

Answer 1

例3 增广矩阵 (A, b) =
[1 1 1 1 1 7]
[3 1 2 1 3 -2]
[0 2 1 2 6 23]
[5 3 4 3 -1 12]
行初等变换为
[1 1 1 1 1 7]
[0 -2 -1 -2 0 -23]
[0 2 1 2 6 23]
[0 -2 -1 -2 -6 -23]
行初等变换为
[1 1 1 1 1 7]
[0 -2 -1 -2 0 -23]
[0 0 0 0 6 0]
[0 0 0 0 0 0]
行初等变换为
[1 1 1 1 0 7]
[0 2 1 2 0 23]
[0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 3 < 5
方程组有无穷多解。
方程组同解变形为
x1+x2 = 7-x3-x4
2x2 = 23-x3-2x4
x5 = 0
取 x3 = 7, x4 = 0, 得特解 (-8, 8, 7, 0, 0)^T。
导出组即对应的齐次方程是
x1+x2 = -x3-x4
2x2 = -x3-2x4
x5 = 0
取 x3 = -2, x4 = 0, 得基础解系 (1, 1, -2, 0, 0)^T；
取 x3 = 0, x4 = -1, 得基础解系 (0, 1, 0, -1, 0)^T。
对应的齐次方程的通解是
x = k(1, 1, -2, 0, 0)^T+c (0, 1, 0, -1, 0)^T
非齐次方程的通解（一般解，全部解）是
x = k(1, 1, -2, 0, 0)^T+c (0, 1, 0, -1, 0)^T+ (-8, 8, 7, 0, 0)^T。
其中，k, c 为任意常数。