（2012镇江）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5h后乙开始出发，结果比甲早1h到达B地．如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，a表示A、B两地之间的距离．请结合图中的信息解决如下问题： （1）分别计算甲、乙两车的速度及a的值； （2）乙车到达B地后以原速立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离A地的距离S（km）与时间t（h）的函数图象． 解：（1）甲的速度为60÷1.5=40（千米/小时），乙的速度为60千米/小时． 求a的方法如下： 方法1：由题意， a 60 = a 40 -1-0.5， 解得：a=180； 方法2：设甲到达B地的时间为t，则乙所用时间为：t-1-0.5，由路程相等得， 40t=60（t-1-0.5）， 解得：t=4.5， a=40t=40×4.5=180； 方法3：由题意知，M（0.5，0）， 可求得线段OP、MN表示的函数关系式分别为：S 甲 =40t，S 乙 =60t-30， 设N（t，a），P（t+1，a），代入函数关系式， 40(t+1)=a 60t-30=a ， 解得： t=3.5 a=180 ； （2）方法1：设甲返回的速度为xkm/h，则： 180 60 -1= 180 x ， 解得：x=90， 经检验得出：x=90是方程的根且符合题意， 故甲返回的速度为90km/h， 方法2：设甲返回的速度为xkm/h，则 180 60 ×2+0.5= 180 40 + 180 x ， 解得：x=90， 经检验得出：x=90是方程的根且符合题意， 故甲返回的速度为90km/h， 方法3，：如图，线段PE、NE分别表示甲、乙两车返回时距离A地的距离S（千米）与时间t（小时）的关系， 点E的横坐标为： 180 60 ×2+0.5=6.5，若甲、乙两车同时返回A地，则甲返回时需用时间为： 6.5- 180 40 =2（小时）， 故甲返回的速度为90km/h，如图所示． 某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 维生素C及价格 甲种原料 乙种原料 维生素C（单位/千克） 600 400 原料价格（元/千克） 9 5 现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C．设购买甲种原料x千克． （1）至少需要购买甲种原料多少千克？ （2）设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式．并说明购买甲种原料多少千克时，总费用最少？ 解：（1）依题意，得600x+400（20-x）≥480×20， 解得x≥8． ∴至少需要购买甲种原料8千克， 答：至少需要购买甲种原料8千克． （2）根据题意得：y=9x+5（20-x）， 即y=4x+100， ∵k=4＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵x≥8， ∴当x=8时，y最小，y=4×8+100=132， ∴购买甲种原料8千克时，总费用最少，是132元， 答：购买甲种原料8千克时，总费用最少，是132元． 游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水--清洗--灌水”中水量y（m 3 ）与时间t（min）之间的函数关系式． （1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m 3 ）与时间t（min）的函数解析式； （2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？ 解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b， 图象经过（0，1500），（25，1000），则： b=1500 25k+b=1000 ， 解得： k=-20 b=1500 ， 故排水阶段解析式为：y=-20t+1500（0＜t＜75）； 清洗阶段：y=0（75≤t＜95）， 灌水阶段：设解析式为：y=at+c， 图象经过（195，1000），（95，0），则： 195a+c=1000 95a+c=0 ， 解得： a=10 c=-950 ， 灌水阶段解析式为：y=10t-950（95≤t≤245）； （2）∵排水阶段解析式为：y=-20t+1500； ∴y=0时，0=-20t+1500， 解得：t=75， 则排水时间为75分钟， 清洗时间为：95-75=20（分钟）， ∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500（m 3 ）， ∴1500=10t-950， 解得：t=245， 故灌水所用时间为：245-95=150（分钟）． 如图，直线y=- 4 3 x+8分别交x轴、y轴于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C、D两点． （1）求点C的坐标； （2）求△BCD的面积． 解：（1）∵直线y=- 4 3 x+8，分别交x轴、y轴于A、B两点， 当x=0时，y=8；当y=0时，x=6． ∴OA=6，OB=8． 在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2 =10， ∵CD是线段AB的垂直平分线， ∴AE=BE=5． ∵∠OAB=∠CAE，∠AOB=∠AEC=90°， ∴△AOB∽△AEC， ∴ OA AE = AB AC ， 即 6 5 = 10 AC ， ∴AC= 25 3 ． ∴OC=AC-OA= 7 3 ， ∴点C的坐标为（- 7 3 ，0）； （2）∵∠ABO=∠DBE，∠AOB=∠BED=90°， ∴△AOB∽△DEB， ∴ OB BE = AB BD ， 即 8 5 = 10 BD ， ∴BD= 25 4 ， ∴S △BCD = 1 2 BDOC= 1 2 × 25 4 × 7 3 = 175 24 ． （2012新疆）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为y A 元，y B 元． （1）请填写下表，并求出y A ，y B 与x之间的函数关系式； C D 总计 A x吨 200吨 B 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 （2）当x为何值时，A村的运费较少？ （3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值． 解：（1）填写如下： C D 总计 A x吨 （200-x）吨 200吨 B （240-x）吨 （60+x）吨 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 由题意得：y A =40x+45（200-x）=-5x+9000；y B =25（240-x）+32（60+x）=7x+7920； （2）对于y A =-5x+9000（0≤x≤200）， ∵k=-5＜0， ∴此一次函数为减函数， 则当x=200吨时，y A 最小，其最小值为-5×200+9000=8000（元）； （3）设两村的运费之和为W， 则W=y A +y B =-5x+9000+7x+7920=2x+16920（0≤x≤200）， ∵k=2＞0， ∴此一次函数为增函数， 则当x=0时，W有最小值，W最小值为16920元． 此时调运方案为：从A村运往C仓库0吨，运往D仓库为200吨，B村应往C仓库运240吨，运往D仓库60吨． （2012鸡西）如图，抛物线y=- 1 2 x 2 +bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3． （1）求抛物线的解析式．（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 注：二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=- b 2a ． 解：（1）∵OA=2，OC=3， ∴A（-2，0），C（0，3）， ∴c=3， 将A（-2，0）代入y=- 1 2 x 2 +bx+3得，- 1 2 ×（-2） 2 -2b+3=0， 解得b= 1 2 ， 可得函数解析式为y=- 1 2 x 2 + 1 2 x+3； （2）如图：连接AD，与对称轴相交于P，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小． 设AD的解析式为y=kx+b， 将A（-2，0），D（2，2）分别代入解析式得， -2k+b=0 2k+b=2 ， 解得， k= 1 2 b=1 ，故直线解析式为y= 1 2 x+1，（-2＜x＜2）， 由于二次函数的对称轴为x=- 1 2 2×(- 1 2 ) = 1 2 ， 则当x= 1 2 时，y= 1 2 × 1 2 +1= 5 4 ， 故P（ 1 2 ， 5 4 ）． （2010本溪）荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y（万元），写出y关于x的函数关系式． （2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可） （3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议． 解：（1）y=7.5x-（2.7x+0.9x 2 +0.3x） =7.5x-2.7x-0.9x 2 -0.3x =-0.9x 2 +4.5x． （2）当-0.9x 2 +4.5x=5时， 整理得：9x 2 -45x+50=0， 解得：x 1 = 5 3 ，x 2 = 10 3 ， 从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建 5 3 公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z（万元） Z=7.5x-（0.9x+0.3x 2 +0.3x） =7.5x-0.9x-0.3x 2 -0.3x =-0.3x 2 +6.3x =-0.3（x-10.5） 2 +33.075（10分） 不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．（11分） 建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大． ③当-0.3x 2 +6.3x=0时，x 1 =0，x 2 =21．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本． 如图，抛物线y=- 3 4 x 2 +3与x轴交于点A，点B，与直线y=- 3 4 x+b相交于点B，点C，直线y=- 3 4 x+b与y轴交于点E． （1）写出直线BC的解析式． （2）求△ABC的面积． （3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？ 解：（1）在y=- 3 4 x 2 +3中，令y=0 ∴- 3 4 x 2 +3=0 ∴x 1 =2，x 2 =-2 ∴A（-2，0），B（2，0）（2分） 又点B在y=- 3 4 x+b上 ∴0=- 3 2 +b，b= 3 2 ∴BC的解析式为y=- 3 4 x+ 3 2 ．（2分） （2）由 y=- 3 4 x2+3 y=- 3 4 x+ 3 2 ， 得 x1=-1 y1= 9 4 ， x2=2 y2=0 ． ∴C(-1， 9 4 )，B（2，0），（2分） ∴AB=4，CD= 9 4 ， ∴S△ABC= 1 2 ×4× 9 4 = 9 2 ．（2分） （3）过点N作NP⊥MB于点P ∵EO⊥MB ∴NP∥EO ∴△BNP∽△BEO ∴ BN BE = NP EO （1分） 由直线y=- 3 4 x+ 3 2 可得：E(0， 3 2 ) ∴在△BEO中，BO=2，EO= 3 2 ，则BE= 5 2 ∴ 2t 5 2 = NP 3 2 ， ∴NP= 6 5 t（1分） ∴S= 1 2 . 6 5 t．（4-t）=- 3 5 t 2 + 12 5 t（0＜t＜4）=- 3 5 （t-2） 2 + 12 5 （1分） ∵此抛物线开口向下， ∴当t=2时，S 最大 = 12 5 ∴当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为 12 5 ．（1分）
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