插值法的原理是什么？怎么计算？

Question

如题所述

Answer 1

插值法原理：

数学内插法即“直线插入法”。

其原理是，若A(i1‚1)‚B(i2‚2)为两点，则点P(i‚)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1‚i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。上述公式易得。A、B、P三点共线，则(-1)(i-i1)=(2-1)(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。

含义：

插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。 　

注意：

（1）“内插法”的原理是根据等比关系建立一个方程，然后解方程计算得出所要求的数据。
例如：假设与A1对应的数据是B1，与A2对应的数据是B2，A介于A1和A2之间，已知与A对应的数据是B，则可以按照（A1-A）/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)计算得出A的数值。

（2）仔细观察一下这个方程会看出一个特点，即相对应的数据在等式两方的位置相同。例如：A1位于等式左方表达式的分子和分母的左侧，与其对应的数字B1位于等式右方的表达式的分子和分母的左侧。

（3）还需要注意的一个问题是：如果对A1和A2的数值进行交换，则必须同时对B1和B2的数值也交换，否则，计算得出的结果一定不正确。

Answer 2

"“插值法”的原理是根据比例关系建立一个方程，然后，解方程计算得出所要求的数据，
例如：假设与a1对应的数据是b1，与a2对应的数据是b2，现在已知与a对应的数据是b，a介于a1和a2之间，则可以按照（a1-a)/(a1-a2)=(b1-b)/(b1-b2)计算得出a的数值，其中a1、a2、b1、b2、b都是已知数据。根本不必记忆教材中的公式，也没有任何规定必须β1＞β2
验证如下：根据：（a1-a)/(a1-a2)=(b1-b)/(b1-b2)可知：
（a1-a)＝(b1-b)/(b1-b2)×（a1-a2）
a＝a1－(b1-b)/(b1-b2)×（a1-a2）
＝a1＋(b1-b)/(b1-b2)×（a2-a1）
例如：某人向银行存入5000元，在利率为多少时才能保证在未来10年中每年末收到750元？
5000/750=6.667
查年金现值表
i=8%,系数为6.710
i=9%,系数为6.418
说明利率在8-9%之间，设为x%
（x%-8%）/（9%-8%）=（6.667-6.71）/（6.418-6.71）
计算得出
x=8.147。
再比如：
59×（1＋r）^－1＋59×（1＋r）^－2＋59×（1＋r）^－3＋59×（1＋r）^－4＋（59＋1250）×（1＋r）^－5＝1000（元）这个计算式也可以转变为59×（p/a,r，5）+1250×（p/f，r，5）＝1000
当r＝9%时，59×3.8897+1250×0.6499＝229.4923+812.375＝1041.8673>1
000元
当r＝12%时，59×3.6048+1250×0.5674＝212.6832+709.25＝921.9332<1000元
因此，
现值
利率
1041.8673
9%
1000
r
921.9332
12%
（1041.8673－1000）/（1041.8673－921.9332）＝（9％-r）/（9％-12％）解得，r＝10％。
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