高数 微分方程

Question

高数 微分方程详细过程

Answer 1

求微分方程 y'-ytanx=secx的通解
解：先求齐次方程 y'-ytanx=0的通解：分离变量得 dy/y=tanxdx;
积分之得 lny=∫tanxdx=-lncosx+lnc=ln(c/cosx)
故y=c/cosx；把c改成x的函数u，则y=u/cosx...........①
对①取导数得：y'=(u'cosx+usinx)/cos²x...........②
将①②代入原式得：(u'cosx+usinx)/cos²x-(usinx/cos²x)=secx
化简得：u'/cosx=secx；故u'=1，即du/dx=1,∴u=x+c；代入①式即得原方程的通解：
y=(x+c)/cosx=(x+c)secx.

Answer 2

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Answer 3

设y=u/cosx,则y'=u'/cosx+usinx/(cosx)^2,
代入y'-ytanx=secx,得
u'/cosx+usinx/(cosx)^2-usinx/(cosx)^2=1/cosx,
∴u'=1,
积分得u=x+c,
∴y=(x+c)/cosx,为所求。