圆柱形电容器的电容公式怎么推导

Question

如题所述

Answer 1

圆柱形电容器的电容公式可以通过高斯定理来推导。假设圆柱形电容器的两个电极半径分别为r1和r2，长度为l，电介质的介电常数为ε。
首先，在没有电荷的情况下，电场是均匀的。因此，可以通过高斯定理来求出电场的大小。假设在电容器内部选择一个半径为r，长度为l的柱形高斯面，高斯面的两个底面分别与电容器的两个电极对齐。由于电场是垂直于高斯面的，因此高斯面上的电场强度大小为E。
根据高斯定理，通过高斯面的电通量为：
ΦE = ∮S E · dS = E × S
其中，S为高斯面的面积。
由于高斯面的形状为柱形，因此高斯面上的面积为：
S = 2πrl
因此，电通量可以表示为：
ΦE = 2πrlE
根据高斯定理，电通量ΦE等于高斯面内部的电荷q与电介质的介电常数ε的乘积，即：
ΦE = q/ε
将上面两个公式联立，得到：
E = q/(2πrlε)
由于圆柱形电容器的电极为圆柱形，因此电场强度E是沿着圆柱形电容器的轴线方向分布的。因此，可以通过积分来计算电容器的电容。假设在电容器内部选择一个截面为S的圆柱形体积，并且与电容器的两个电极对齐，那么这个圆柱形体积内的电容可以表示为：
C = q/V
其中，V为圆柱形体积的体积大小。由于圆柱形电容器的电极为圆柱形，因此圆柱形体积内的电荷q是沿着圆柱形电容器的轴线方向分布的，因此可以将q表示为电荷面密度σ与圆柱形体积的长度l的乘积，即：
q = σlS
其中，S为圆柱形体积的底面积。
将上面两个公式代入电容公式，得到：
C = q/V = σlS/(1/3)πr^2l = 3σS/πr^2
由于电介质的介电常数ε等于真空中的介电常数ε0与电介质的相对介电常数εr的乘积，即ε = ε0εr，因此可以将电容公式表示为：
C = 2πε0εrl/ln(r2/r1)
这就是圆柱形电容器的电容公式。