一：罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b）；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.
罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。
几何意义
罗尔定理的三个已知条件的几何意义是：f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，也就平行于x轴.
二：罗尔定理可以直观的理解为，如果一个可导的函数，两个端点值是一样的话，那肯定有个中间值是导数为0的。直观理解就是函数图像要先上升（下降）再下降（上升）回到原来的值，那中间有个地方肯定是比较平坦（不是很严格，直观想象）的。拉格朗日是两个端点值不一样，中间有个值能达到。证明的思想是构造函数，把斜的化成平的（直观想象）。
三：罗尔中值定理:
设函数 f(x)在区间[a,b]上有定义，如果
（1）函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续；
（2）函数 f(x)在开区间（a，b）内可导；
（3）函数 f(x)在区间两端点处的函数值相等，即 f(a)= f(b)
则在（a，b）内至少存在一个点 a<ξ <b，使得 f ＇(ξ)=0 .
罗尔定理的几何解释:
当曲线方程满足罗尔定理的要求时，在区间内至少存在一点使得该点的切线的斜率为零，换句话说，该点的切线平行于 x 轴.
[例题] 不用求出函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的导数，说明方程 f (x)=0 有几个实根，并指出它们所在的区间。
解：由于函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 在整个实数轴上连续、可导，并且 f(1)= f(2)=f(3)=f(4)= f(5)=0，分别在区间 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 内应用罗尔定理，可得方程 f (x)=0 至少有4个实根，但由于f (x)是一个4次多项式，至多有4个实根，因此，方程 f (x)=0 只有4个实根，并且分别位于区间 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 内。
