当椭圆积分的幅度达到π/2或者自变量x等于1时，这种积分被称为完全椭圆积分。其中，第一类完全椭圆积分K有如下定义:
或者
这是第一类不完全椭圆积分的一种特殊情况，它可以通过幂级数的形式表示为:
这个表达式可以进一步简化为:
这里，n!!代表双阶乘。利用高斯的超几何函数，第一类完全椭圆积分可以这样表示:
由于其周期性的特性，第一类完全椭圆积分有时被称为四分周期，其计算常常采用算术几何平均值的方法来实现。
对于特殊值的讨论，第一类完全椭圆积分的导数具有特定的性质...
这些特性使得第一类完全椭圆积分在数学分析中占据着重要的地位，它的计算和理论研究对于理解和应用椭圆函数至关重要。
在积分学中，椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。Guilio Fagnano和欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为：可以表达为如下形式的任何函数f的积分---其中R是其两个参数的有理函数，P是一个无重根的3或4阶多项式的平方根，而c是一个常数。通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在P有重根的时候，或者是R(x,y)没有y的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。