如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的一条弦，且 CD ⊥ AB 于点 E ． （1）求证：∠ BCO =∠ D ；（

Question

如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的一条弦，且 CD ⊥ AB 于点 E ． （1）求证：∠ BCO =∠ D ；（2）若 CD = ， AE =2，求⊙ O 的半径．

Answer 1

∠BCO=∠D  半径=3.

试题分析：(1)证明：∵O为圆心，∴OB="OC," ∴∠BCO="∠B" 又∵∠B与∠D所对的同弧AC，∴∠B="∠D" ∴∠BCO=∠D  (2)设半径为x,则EO="（x-2）," ∵CD⊥AB∴CE=DE= ×4 =2  在Rt△CEO中，由勾股定理得；CO2-OE2="CE2" 即x2-(x-2)2=(2 )2 解得x="3" （1）证明：如图. ∵ OC = OB ， ∴∠ BCO =∠ B . ∵∠ B =∠ D ， ∴∠ BCO =∠ D .  ………………………………2分 （2）解：∵ AB 是⊙ O 的直径，且 CD ⊥ AB 于点 E ， ∴ . ............................................ 3分 在Rt△ OCE 中， ， 设⊙ O 的半径为 r ，则 OC = r ， OE = OA AE = r 2， ∴ .  ................................................... 4分 解得 . ∴⊙ O 的半径为3.   5分 点评：在同圆中，两个角要是相等的条件是所对的同一个弧，（1）中∴∠B=∠D，又∠B=∠BCO，∴等量代换证得。（2）中，根据勾股定理可列方程求之。中等偏难题，计算较多。