a的n次方减b的n次方 含有(a b)的公式！跪求大神给个完整的！尤其是每项的正负号！谢谢！！！

Question

我是在张宇的2019版高数18讲上看到的，但是书上写的公司不完整，跪求大神解答！书上是a^n-b^n=(a+b)(a^(n-1)-a^(n-2)b+...+ab^(n-2)+b^(n-1))n为正偶数，尤其是符号！谢谢大神！

Answer 1

方法1：

a^n-b^n

=[a^n+a^(n-1)*b]

  -[a^(n-1)*b+a^(n-2)*b^2]

  +[a^(n-2)*b^2+a^(n-3)*b^3]

  -……

  -[ab^(n-1)+b^n]  后面略

方法2(构造等比数列)：

a^n-b^n=(a+b)Σ《k=1,  n》[(-1)^(k-1)*a^(n-k)*b^(k-1)]《n为偶数》

a^n+b^n=(a+b)Σ《k=1,  n》[(-1)^(k-1)*a^(n-k)*b^(k-1)]《n为奇数》

用求和符号Σ表示的两个公式右边一模一样，但中括号内计算结果不一样：

上面公式：偶数项，最后项为 -b^(n-1)

下面公式：奇数项，最后项为 b^(n-1)