第1个回答 2014-01-20
设特解为y*=(Ax^2+Bx+C)e^x
则y*'=(Ax^2+(2A+B)x+(B+C))e^x
y*''=(Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B+C))e^x
所以Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B+C)+4Ax^2+(8A+4B)x+(4B+4C)+4Ax^2+4Bx+4C=2x^2
所以9A=2,12A+9B=0,2A+6B+9C=0
所以A=2/9,B=-8/27,C=4/27
所以y*=(2/9*x^2-8/27*x+4/27)e^x
(其实我个人设特解的时候是靠感觉的……)
第3个回答 2014-01-21
k的取值由λ决定。如果λ不是齐次方程的特征方程的根,k=0;如果λ是齐次方程的特征方程的单根,k=1;如果λ是齐次方程的特征方程的重根,k=2。当k的值确定了之后,特解的形式自然确定了。
对于y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x,特解可设为x^k(ax^2+bx+c),因为λ=1不是齐次方程的特征方程r^2+4r+4=0的根,所以k=0,所以特解设为(ax^2+bx+c)e^x。
把特解代入的过程一般可省略,有个可直接得最终结果的式子,教材上的推导过程会有:对于y''+py'+qy=P(x)e^(λx),特解设为Q(x)e^(λx),代入后会得到Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ^2+pλ+q)Q(x)=P(x)。熟记这个式子对于简化计算很有帮助。
对于本题,P(x)=2x^2,Q(x)=ax^2+bx+c,所以2a+6(2ax+b)+9(ax^2+bx+c)=2x^2,所以a=2/9,b=-8/27,c=4/27。本回答被提问者采纳