一阶线性微分方程通解公式

Question

关于那个一阶线性微分方程的通解公式，在使用的时候为什么e^(-p(x)dx积分）中指数积出来不加个任意常数c呢？好像加了c结果会不一样啊？知道的快帮帮我吧！谢谢了！

Answer 1

举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3

解：

∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³ 

(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx 

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)²] 

y/(x-2)=(x-2)² C   (C是积分常数)         

y=(x-2)³ C(x-2)      

∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。

扩展资料：

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。

对于一阶非齐次线性微分方程：

其对应齐次方程:

解为：

令C=u(x)，得:

带入原方程得：

对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：

其中C为常数，由函数的初始条件决定。

注意到，上式右端第一项是对应的齐线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐线性方程式（式1）的一个特解。由此可知，一阶非齐线性方程的通解等于对应的齐线性方程的通解与非齐线性方程的一个特解之和。

Answer 2

公式应该是 ∫e^(-p(x))dx ，这个积分是个不定积分，本身就包含了一个常数。
不用再写 ∫e^(-p(x))dx + C 了。
正常情况下，微分方程方程都有边界条件 和/或 初始条件， 当你知道p(x) 的具体形式时，算这个不定积分，应该保留一个常数，而后用边界条件 和/或 初始条件来确定常数的值，得到完全确定的解。追问

不是啊，p(x)dx积分出来应该是p（x）的原函数加c这没错吧？

追答

哦，我知道了， 是 e^(- ∫p(x)dx )。好久不解微分方程了，公式记不清了。
应该是 p(x)的原函数加c， 但是你把它代入表达式，假定p(x)的原函数是 q(x)，这样就是，
e^(- q(x) + C ) = C' e^(- q(x))
指数上的常数相加，就变成了指数外的相乘，
然后用边界条件 和/或 初始条件来确定常数C' 的值。

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Answer 3

[高数]变限积分求导易错点