三角函数诱导公式 烦请证明奇变偶不变,符号看象限 对所有情况试用

Question

我只是不相信该公式对任意的值都满足，若要证明 比如 SIN（角度+90）我可以列举角度在坐标轴上和四个象限的情况，但这个奇变偶不变,符号看象限太宽泛了，我这个人很奇怪，不证明它我不会相信，每次用公式都在犹豫，谁能证明它就是对的？

Answer 1

奇变偶不变的含义就是
比如sin（x+π）
π的话是π/2的两倍，两倍就是偶数的意思，所以sin（x+π）最终化简的形式肯定是sin，就是不会变化
符号的话如果只是x的话，将它看做是第一象限的一个角，加上π的话那么就是到第三象限去了，第三象限的角的sin是负的，所以这个函数化简之后的符号也是负的
所以sin（x+π）=-sinx
再举一个例子，cos（x+ 1.5π）好了
1.5π是0.5派的三倍，所以化简后是sin吧？
x+1.5π那时第四象限的角，cos是正的
所以化简结果就是sinx
你不信可以用这个方法不停的验证直到你信为止

Answer 2

解答：
这个证明方法很多，
可以利用三角函数定义证明
以90°+A,与A为例，其他可以类似证明
在角A的终边上取点M(x0,y0)
R=√(x0²+y0²)
则M逆时针旋转90°，得到M'(-y0,x0),在A+90°的终边上。
R=√(x0²+y0²)
sinA=y0/R, cosA=x0/R,tanA=y0/x0
sin(A+90°)=x0/R,cos(A+90°)=-y0/R, tan(A+90°)=-x0/x0
所以 sin(A+90°)=cosA, cos(A+90°)=-sinA ,tan(A+90°)=-cotA=-1/tanA本回答被网友采纳

Answer 3

我们可以使用和角公式来简单的证明一下
最基本的和角公式即cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
（由sin²(x+y)=1-cos²(x+y)可以推出正弦的，由tan(x+y)=sin(x+y)/cos(x+y)可以推出正切的）
那么我们开始证明
首先我们来证明一下余弦函数的诱导公式
cos(x+k*π/2)=cosx*cos(k*π/2)-sinx*sin(k*π/2),k∈Z
当k为偶数的时候
cos(x+k*π/2)=cosx*cos(k*π/2)因为当k为偶数时sin(k*π/2)=0，此时我们可以简单的得到
当k=4n(n∈Z)的时候cos(x+k*π/2)=cosx，当k=4n+2(n∈Z)的时候cos(x+k*π/2)=-cosx
（这和符号看象限的规律契合)
当k为奇数的时候
cos(x+k*π/2)=-sinx*sin(k*π/2)因为当k为奇数时cos(k*π/2)=0，此时我们可以简单的得到
当k=4n+1(n∈Z)的时候cos(x+k*π/2)=-sinx,当k=4n+3(n∈Z)的时候cos(x+k*π/2)=sinx
（这和符号看象限的规律契合）
（这和奇变偶不变的规律契合）
其他公式也可以据此证明，就不详说了,有兴趣你可以自己证一下

Answer 4

奇、偶指的是90度的奇（偶）数倍，变的是函数名，由sin换成cos，或反之
符号看象限是指把“角度”视为锐角时，“角度+k倍90度”这个角在那个象限的符号