麻烦帮我解这道题∫√x²－1／x dx

Question

若设√x²－1＝t，x＝√t²－1 ，那么原式＝t／√t²－1d√t²－1，后面怎么做

Answer 1

换元的思路是对的，但计算出现了错误。正确解法如下：
设√x²－1＝t，则x＝√t²+1 ，dx=tdt/√t²+1，于是
∫√x²－1／x dx
=∫[t²/(t²+1)]dt
=∫[(t²+1-1)/(t²+1)]dt
=∫[1-1/(t²+1)]dt
=t-arctant+C
=√x²－1-arctan√x²－1+C追问

tdt/√t²+1怎么换成dt的，是求导，还是求原函数

追答

对x＝√t²+1求导得dx=tdt/√t²+1，具体过程如下：
dx=[(1/2)(t²+1)^(-1/2)]*(2t)dt=tdt/√t²+1
利用了复合函数求导法则。
希望对你有所启示

Answer 2

不可以这样做,因为开根号后,涉及x的正负.
这种题一般令
x=sect,dx=tant*sectdt
原式=∫(tant／sect)*tant*sectdt
=∫(tant)^2dt
=∫[(sect)^2-1]dt
=tant-t+c
x=sect=1/cost,cost=1/x,
所以tant=√x²－1／x,t=arccos(1/x)
原式=√x²－1／x - arccos(1/x)+ c

Answer 3

设x=1/cost
则 = tant / (1/cost) d(1/cost)
= sint d(1/cost)
= sint/cost - 1/cost d sint
= tant - 1dt
= tant - t