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1ï¼ç¨æä¸åæ¯è¡¨ç¤ºéåï¼A={ææ ¡ç篮çéå},B={1,2,3,4,5}
2ï¼éåç表示æ¹æ³ï¼å举æ³ä¸æè¿°æ³ã
注æï¼å¸¸ç¨æ°éåå
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表示éåçæ¹æ³ãç¨ç¡®å®çæ¡ä»¶è¡¨ç¤ºæäºå¯¹è±¡æ¯å¦å±äºè¿ä¸ªéåçæ¹æ³ï¼â è¯è¨æè¿°æ³ï¼ä¾ï¼{ä¸æ¯ç´è§ä¸è§å½¢çä¸è§å½¢} â¡æ°å¦å¼åæè¿°æ³ï¼ä¾ï¼ä¸çå¼x-3>2ç解éæ¯{xR| x-3>2}æ{x| x-3>2}
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⣠å¦æAB åæ¶ BA é£ä¹A=B
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2ã并éçå®ä¹ï¼ä¸è¬å°ï¼ç±ææå±äºéåAæå±äºéåBçå
ç´ æç»æçéåï¼å«åA,Bç并éãè®°ä½ï¼AâªB(读ä½ï¼A并Bï¼)ï¼å³AâªB={x|xâAï¼æxâB}ï¼
3ã交éä¸å¹¶éçæ§è´¨ï¼Aâ©A = A, Aâ©Ï= Ï, Aâ©B = Bâ©Aï¼AâªA = A,AâªÏ= A ,AâªB = BâªA.
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éåï¼å«åSä¸åéAçè¡¥éï¼æä½éï¼è®°ä½ï¼ CSA å³ CSA ={x xSä¸ xA}
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³ç³»fï¼ä½¿å¯¹äºéåAä¸çä»»æä¸ä¸ªæ°xï¼å¨éåBä¸é½æå¯ä¸ç¡®å®çæ°f(x)åå®å¯¹åºï¼é£ä¹å°±ç§°fï¼AâB为ä»éåAå°éåBçä¸ä¸ªå½æ°ï¼è®°ä½ï¼ y=f(x)ï¼xâAï¼å
¶ä¸ï¼xå«åèªåéï¼xçåå¼èå´Aå«åå½æ°çå®ä¹åï¼ä¸xçå¼ç¸å¯¹åºçyå¼å«åå½æ°å¼ï¼å½æ°å¼çéå{f(x)| xâA }å«åå½æ°çå¼åï¼
注æï¼å¦æåªç»åºè§£æå¼y=f(x)ï¼è没æææå®çå®ä¹åï¼åå½æ°çå®ä¹åå³æ¯æè½ä½¿è¿ä¸ªå¼åææä¹çå®æ°çéåï¼ å½æ°çå®ä¹åãå¼åè¦åæéåæåºé´çå½¢å¼ï¼
å®ä¹åè¡¥å
:è½ä½¿å½æ°å¼ææä¹çå®æ°xçéå称为å½æ°çå®ä¹åï¼æ±å½æ°çå®ä¹åæ¶åä¸çå¼ç»ç主è¦ä¾æ®æ¯ï¼
(1)åå¼çåæ¯ä¸çäºé¶ï¼
(2)å¶æ¬¡æ¹æ ¹ç被å¼æ¹æ°ä¸å°äºé¶ï¼
(3)对æ°å¼ççæ°å¿
须大äºé¶ï¼
(4)ææ°ã对æ°å¼çåºå¿
须大äºé¶ä¸ä¸çäº1.
(5)å¦æå½æ°æ¯ç±ä¸äºåºæ¬å½æ°éè¿ååè¿ç®ç»åèæç.é£ä¹ï¼å®çå®ä¹åæ¯ä½¿åé¨åé½ææä¹çxçå¼ç»æçéå.
(6)ææ°ä¸ºé¶åºä¸å¯ä»¥çäºé¶
(7)å®é
é®é¢ä¸çå½æ°çå®ä¹åè¿è¦ä¿è¯å®é
é®é¢ææä¹.(å注æï¼æ±åºä¸çå¼ç»ç解éå³ä¸ºå½æ°çå®ä¹åã)
ææå½æ°çä¸è¦ç´ ï¼å®ä¹åã对åºå
³ç³»åå¼å
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ï¼1ï¼ææå½æ°ä¸ä¸ªè¦ç´ æ¯å®ä¹åã对åºå
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³ç³»å³å®çï¼æ以ï¼å¦æ两个å½æ°çå®ä¹åå对åºå
³ç³»å®å
¨ä¸è´ï¼å³ç§°è¿ä¸¤ä¸ªå½æ°ç¸çï¼æ为åä¸å½æ°ï¼
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³ç³»å®å
¨ä¸è´ï¼èä¸è¡¨ç¤ºèªåéåå½æ°å¼çåæ¯æ å
³ãç¸åå½æ°çå¤ææ¹æ³ï¼â 表达å¼ç¸åï¼â¡å®ä¹åä¸è´ (两ç¹å¿
é¡»åæ¶å
·å¤)
å¼åè¡¥å
:ï¼1ï¼ãå½æ°çå¼ååå³äºå®ä¹åå对åºæ³åï¼ä¸è®ºéåä»ä¹æ¹æ³æ±å½æ°çå¼åé½åºå
èèå
¶å®ä¹å.
ï¼2ï¼åºçæææ¡ä¸æ¬¡å½æ°ãäºæ¬¡å½æ°ãææ°ã对æ°å½æ°ååä¸è§å½æ°çå¼åï¼å®æ¯æ±è§£å¤æå½æ°å¼åçåºç¡ã
2. å½æ°å¾è±¡ç¥è¯å½çº³
(1)å®ä¹ï¼å¨å¹³é¢ç´è§åæ ç³»ä¸ï¼ä»¥å½æ° y=f(x) , (xâA)ä¸çx为横åæ ï¼å½æ°å¼y为纵åæ çç¹P(xï¼y)çéåCï¼å«åå½æ° y=f(x),(x âA)çå¾è±¡ï¼Cä¸æ¯ä¸ç¹çåæ (xï¼y)å满足å½æ°å
³ç³»y=f(x)ï¼åè¿æ¥ï¼ä»¥æ»¡è¶³y=f(x)çæ¯ä¸ç»æåºå®æ°å¯¹xãy为åæ çç¹(xï¼y)ï¼åå¨Cä¸ . å³è®°ä¸ºC={ P(x,y) | y= f(x) , xâA }ãå¾è±¡Cä¸è¬çæ¯ä¸æ¡å
æ»çè¿ç»æ²çº¿(æç´çº¿),ä¹å¯è½æ¯ç±ä¸ä»»æå¹³è¡ä¸Yè½´çç´çº¿æå¤åªæä¸ä¸ªäº¤ç¹çè¥å¹²æ¡æ²çº¿æ离æ£ç¹ç»æã
(2)ç»æ³
Aãæç¹æ³ï¼æ ¹æ®å½æ°è§£æå¼åå®ä¹åï¼æ±åºx,yçä¸äºå¯¹åºå¼å¹¶å表ï¼ä»¥(x,y)为åæ å¨åæ ç³»å
æåºç¸åºçç¹P(x, y)ï¼æåç¨å¹³æ»çæ²çº¿å°è¿äºç¹è¿æ¥èµ·æ¥.
Bãå¾è±¡åæ¢æ³ï¼è¯·åèå¿
ä¿®4ä¸è§å½æ°ï¼å¸¸ç¨åæ¢æ¹æ³æä¸ç§ï¼å³å¹³ç§»åæ¢ã伸缩åæ¢å对称åæ¢
(3)ä½ç¨ï¼
1ãç´è§ççåºå½æ°çæ§è´¨ï¼
2ãå©ç¨æ°å½¢ç»åçæ¹æ³åæ解é¢çæè·¯ãæé«è§£é¢çé度ãåç°è§£é¢ä¸çé误ã
3. äºè§£åºé´çæ¦å¿µ
ï¼1ï¼åºé´çåç±»ï¼å¼åºé´ãéåºé´ãåå¼åéåºé´ï¼ï¼2ï¼æ ç©·åºé´ï¼ï¼3ï¼åºé´çæ°è½´è¡¨ç¤ºï¼
4ï¼ä»ä¹å«åæ å°
ä¸è¬å°ï¼è®¾AãBæ¯ä¸¤ä¸ªé空çéåï¼å¦æææä¸ä¸ªç¡®å®ç对åºæ³åfï¼ä½¿å¯¹äºéåAä¸çä»»æä¸ä¸ªå
ç´ xï¼å¨éåBä¸é½æå¯ä¸ç¡®å®çå
ç´ yä¸ä¹å¯¹åºï¼é£ä¹å°±ç§°å¯¹åºfï¼A B为ä»éåAå°éåBçä¸ä¸ªæ å°ãè®°ä½âfï¼A Bâ
ç»å®ä¸ä¸ªéåAå°Bçæ å°ï¼å¦æaâA,bâB.ä¸å
ç´ aåå
ç´ b对åºï¼é£ä¹ï¼æ们æå
ç´ bå«åå
ç´ aç象ï¼å
ç´ aå«åå
ç´ b çå象
说æï¼å½æ°æ¯ä¸ç§ç¹æ®çæ å°ï¼æ å°æ¯ä¸ç§ç¹æ®ç对åºï¼â éåAãBå对åºæ³åfæ¯ç¡®å®çï¼â¡å¯¹åºæ³åæâæ¹åæ§âï¼å³å¼ºè°ä»éåAå°éåBç对åºï¼å®ä¸ä»Bå°Aç对åºå
³ç³»ä¸è¬æ¯ä¸åçï¼â¢å¯¹äºæ å°fï¼AâBæ¥è¯´ï¼ååºæ»¡è¶³ï¼ï¼â
ï¼éåAä¸çæ¯ä¸ä¸ªå
ç´ ï¼å¨éåBä¸é½æ象ï¼å¹¶ä¸è±¡æ¯å¯ä¸çï¼ï¼â
¡ï¼éåAä¸ä¸åçå
ç´ ï¼å¨éåBä¸å¯¹åºç象å¯ä»¥æ¯åä¸ä¸ªï¼ï¼â
¢ï¼ä¸è¦æ±éåBä¸çæ¯ä¸ä¸ªå
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常ç¨çå½æ°è¡¨ç¤ºæ³ååèªçä¼ç¹ï¼
â1 å½æ°å¾è±¡æ¢å¯ä»¥æ¯è¿ç»çæ²çº¿ï¼ä¹å¯ä»¥æ¯ç´çº¿ãæ线ã离æ£çç¹ççï¼æ³¨æå¤æä¸ä¸ªå¾å½¢æ¯å¦æ¯å½æ°å¾è±¡çä¾æ®ï¼
â2 解ææ³ï¼å¿
须注æå½æ°çå®ä¹åï¼
â3 å¾è±¡æ³ï¼æç¹æ³ä½å¾è¦æ³¨æï¼ç¡®å®å½æ°çå®ä¹åï¼åç®å½æ°ç解æå¼ï¼è§å¯å½æ°çç¹å¾ï¼
â4 å表æ³ï¼éåçèªåéè¦æ代表æ§ï¼åºè½åæ å®ä¹åçç¹å¾ï¼
注æï¼è§£ææ³ï¼ä¾¿äºç®åºå½æ°å¼ãå表æ³ï¼ä¾¿äºæ¥åºå½æ°å¼ãå¾è±¡æ³ï¼ä¾¿äºéåºå½æ°å¼
è¡¥å
ä¸ï¼å段å½æ° ï¼å¨å®ä¹åçä¸åé¨åä¸æä¸åç解æ表达å¼çå½æ°ãå¨ä¸åçèå´éæ±å½æ°å¼æ¶å¿
é¡»æèªåé代å
¥ç¸åºç表达å¼ãå段å½æ°ç解æå¼ä¸è½åæå 个ä¸åçæ¹ç¨ï¼èå°±åå½æ°å¼å ç§ä¸åç表达å¼å¹¶ç¨ä¸ä¸ªå·¦å¤§æ¬å·æ¬èµ·æ¥ï¼å¹¶åå«æ³¨æåé¨åçèªåéçåå¼æ
åµï¼ï¼1ï¼å段å½æ°æ¯ä¸ä¸ªå½æ°ï¼ä¸è¦æå®è¯¯è®¤ä¸ºæ¯å 个å½æ°ï¼ï¼2ï¼å段å½æ°çå®ä¹åæ¯å段å®ä¹åç并éï¼å¼åæ¯å段å¼åç并éï¼
è¡¥å
äºï¼å¤åå½æ°ï¼å¦æy=f(u),(uâM),u=g(x),(xâA),å y=f[g(x)]=F(x)ï¼(xâA) 称为fãgçå¤åå½æ°ãä¾å¦: y=2sinX y=2cos(X2+1)
5ï¼å½æ°åè°æ§
ï¼1ï¼å¢å½æ°
设å½æ°y=f(x)çå®ä¹å为Iï¼å¦æ对äºå®ä¹åIå
çæ个åºé´Då
çä»»æ两个èªåéx1ï¼x2ï¼å½x1<x2æ¶ï¼é½æf(x1)<f(x2)ï¼é£ä¹å°±è¯´f(x)å¨åºé´Dä¸æ¯å¢å½æ°ãåºé´D称为y=f(x)çåè°å¢åºé´ ï¼çæ¸
æ¥è¯¾æ¬åè°åºé´çæ¦å¿µï¼
å¦æ对äºåºé´Dä¸çä»»æ两个èªåéçå¼x1ï¼x2ï¼å½x1<x2 æ¶ï¼é½æf(x1)ï¼f(x2)ï¼é£ä¹å°±è¯´f(x)å¨è¿ä¸ªåºé´ä¸æ¯åå½æ°.åºé´D称为y=f(x)çåè°ååºé´.
注æï¼â1 å½æ°çåè°æ§æ¯å¨å®ä¹åå
çæ个åºé´ä¸çæ§è´¨ï¼æ¯å½æ°çå±é¨æ§è´¨ï¼
â2 å¿
é¡»æ¯å¯¹äºåºé´Då
çä»»æ两个èªåéx1ï¼x2ï¼å½x1<x2æ¶ï¼æ»æf(x1)<f(x2) ã
ï¼2ï¼å¾è±¡çç¹ç¹
å¦æå½æ°y=f(x)å¨æ个åºé´æ¯å¢å½æ°æåå½æ°ï¼é£ä¹è¯´å½æ°y=f(x)å¨è¿ä¸åºé´ä¸å
·æ(ä¸¥æ ¼ç)åè°æ§ï¼å¨åè°åºé´ä¸å¢å½æ°çå¾è±¡ä»å·¦å°å³æ¯ä¸åçï¼åå½æ°çå¾è±¡ä»å·¦å°å³æ¯ä¸éç.
ï¼3ï¼å½æ°åè°åºé´ä¸åè°æ§çå¤å®æ¹æ³
(A) å®ä¹æ³ï¼
â1 ä»»åx1ï¼x2âDï¼ä¸x1<x2ï¼
â2 ä½å·®f(x1)ï¼f(x2)ï¼
â3 åå½¢ï¼é常æ¯å å¼å解åé
æ¹ï¼ï¼
â4 å®å·ï¼å³å¤æå·®f(x1)ï¼f(x2)çæ£è´ï¼ï¼
â5 ä¸ç»è®ºï¼æåºå½æ°f(x)å¨ç»å®çåºé´Dä¸çåè°æ§ï¼ï¼
(B)å¾è±¡æ³(ä»å¾è±¡ä¸çåé)_
(C)å¤åå½æ°çåè°æ§
å¤åå½æ°f[g(x)]çåè°æ§ä¸ææå®çå½æ°u=g(x)ï¼y=f(u)çåè°æ§å¯åç¸å
³ï¼å
¶è§å¾å¦ä¸ï¼
å½æ° åè°æ§
u=g(x) å¢ å¢ å å
y=f(u) å¢ å å¢ å
y=f[g(x)] å¢ å å å¢
注æï¼1ãå½æ°çåè°åºé´åªè½æ¯å
¶å®ä¹åçååºé´ ,ä¸è½æåè°æ§ç¸åçåºé´åå¨ä¸èµ·åæå
¶å¹¶é.
2ãè¿è®°å¾æ们å¨éä¿®éå¦ä¹ ç®åæè¡ç导æ°æ³å¤å®åè°æ§åï¼
6ï¼å½æ°çå¥å¶æ§
ï¼1ï¼å¶å½æ°
ä¸è¬å°ï¼å¯¹äºå½æ°f(x)çå®ä¹åå
çä»»æä¸ä¸ªxï¼é½æf(ï¼x)=f(x)ï¼é£ä¹f(x)å°±å«åå¶å½æ°ï¼
ï¼2ï¼å¥å½æ°
ä¸è¬å°ï¼å¯¹äºå½æ°f(x)çå®ä¹åå
çä»»æä¸ä¸ªxï¼é½æf(ï¼x)=âf(x)ï¼é£ä¹f(x)å°±å«åå¥å½æ°ï¼
注æï¼â1 å½æ°æ¯å¥å½æ°ææ¯å¶å½æ°ç§°ä¸ºå½æ°çå¥å¶æ§ï¼å½æ°çå¥å¶æ§æ¯å½æ°çæ´ä½æ§è´¨ï¼å½æ°å¯è½æ²¡æå¥å¶æ§,ä¹å¯è½æ¢æ¯å¥å½æ°åæ¯å¶å½æ°ã
â2 ç±å½æ°çå¥å¶æ§å®ä¹å¯ç¥ï¼å½æ°å
·æå¥å¶æ§çä¸ä¸ªå¿
è¦æ¡ä»¶æ¯ï¼å¯¹äºå®ä¹åå
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å¶å½æ°çå¾è±¡å
³äºy轴对称ï¼å¥å½æ°çå¾è±¡å
³äºåç¹å¯¹ç§°ï¼
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â1 é¦å
ç¡®å®å½æ°çå®ä¹åï¼å¹¶å¤æå
¶å®ä¹åæ¯å¦å
³äºåç¹å¯¹ç§°ï¼
â2 ç¡®å®f(ï¼x)ä¸f(x)çå
³ç³»ï¼
â3 ä½åºç¸åºç»è®ºï¼è¥f(ï¼x) = f(x) æ f(ï¼x)ï¼f(x) = 0ï¼åf(x)æ¯å¶å½æ°ï¼è¥f(ï¼x) =ï¼f(x) æ f(ï¼x)ï¼f(x) = 0ï¼åf(x)æ¯å¥å½æ°ï¼
注æï¼å½æ°å®ä¹åå
³äºåç¹å¯¹ç§°æ¯å½æ°å
·æå¥å¶æ§çå¿
è¦æ¡ä»¶ï¼é¦å
çå½æ°çå®ä¹åæ¯å¦å
³äºåç¹å¯¹ç§°ï¼è¥ä¸å¯¹ç§°åå½æ°æ¯éå¥éå¶å½æ°.è¥å¯¹ç§°ï¼(1)åæ ¹æ®å®ä¹å¤å®; (2)ææ¶å¤å®f(-x)=±f(x)æ¯è¾å°é¾ï¼å¯èèæ ¹æ®æ¯å¦æf(-x)±f(x)=0æf(x)/f(-x)=±1æ¥å¤å®; (3)å©ç¨å®çï¼æåå©å½æ°çå¾è±¡å¤å® .
7ãå½æ°ç解æ表达å¼
ï¼1ï¼.å½æ°ç解æå¼æ¯å½æ°çä¸ç§è¡¨ç¤ºæ¹æ³ï¼è¦æ±ä¸¤ä¸ªåéä¹é´çå½æ°å
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â3 å©ç¨å½æ°åè°æ§çå¤æå½æ°çæ大ï¼å°ï¼å¼ï¼å¦æå½æ°y=f(x)å¨åºé´[aï¼b]ä¸åè°éå¢ï¼å¨åºé´[bï¼c]ä¸åè°éååå½æ°y=f(x)å¨x=bå¤ææ大å¼f(b)ï¼å¦æå½æ°y=f(x)å¨åºé´[aï¼b]ä¸åè°éåï¼å¨åºé´[bï¼c]ä¸åè°éå¢åå½æ°y=f(x)å¨x=bå¤ææå°å¼f(b)
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说æï¼â1 注æåºæ°çéå¶ ï¼ä¸ ï¼â2 ï¼â3 注æ对æ°ç书åæ ¼å¼ï¼
两个éè¦å¯¹æ°ï¼â1 常ç¨å¯¹æ°ï¼ä»¥10为åºçå¯¹æ° ï¼â2 èªç¶å¯¹æ°ï¼ä»¥æ çæ° ä¸ºåºç对æ°çå¯¹æ° ï¼
对æ°å¼ä¸ææ°å¼çäºå
对æ°å¼ ææ°å¼ 对æ°åºæ°â â å¹åºæ° 对æ°â âææ° çæ°â âå¹
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注æï¼â1 对æ°å½æ°çå®ä¹ä¸ææ°å½æ°ç±»ä¼¼ï¼é½æ¯å½¢å¼å®ä¹ï¼æ³¨æ辨å«ã
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3ï¼â³ï¼0ï¼æ¹ç¨ æ å®æ ¹ï¼äºæ¬¡å½æ°çå¾è±¡ä¸ è½´æ 交ç¹ï¼äºæ¬¡å½æ°æ é¶ç¹ï¼
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å½æ° çå¾è±¡ä¸ææç¹ç横åæ 伸é¿ï¼ç¼©çï¼å°åæ¥ç åï¼çºµåæ ä¸åï¼ï¼å¾å°å½æ° çå¾è±¡ï¼åå°å½æ° çå¾è±¡ä¸ææç¹åå·¦ï¼å³ï¼å¹³ç§» 个åä½é¿åº¦ï¼å¾å°å½æ° çå¾è±¡ï¼åå°å½æ° çå¾è±¡ä¸ææç¹ç纵åæ 伸é¿ï¼ç¼©çï¼å°åæ¥ç åï¼æ¨ªåæ ä¸åï¼ï¼å¾å°å½æ° çå¾è±¡ï¼
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对称轴
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