若数列An的极限为a，证明：|An|的极限为IaI

Question

|xnyn-0|=|xnyn|<Mε是咋变成|xnyn-0|<ε的，M怎么去掉了

Answer 1

因为，lim an=a
根据定义，
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|an-a|<ε
注意到，此条件下
| |an|-|a| |≤|an-a|<ε
因此，
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有||an|-|a||<ε
因此，
lim |an|=|a|

因为xn有界，则，
存在M>0，有|xn|≤M
因为lim yn=0，则，
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|yn-0|<ε
注意到，此条件下
|xnyn-0|=|xnyn|<Mε
因此，
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|xnyn-0|<ε
因此，
lim xnyn=0

其实去不去掉是一样的，
因为ε是一个任意小的数，因此常数M并不影响他的任意小属性
其实不换掉就已经证明好了
如果要贴合定义的话，只需将Mε改写为ε即可

补充一句，其实不用时刻改问题补充的，只要对我追问就可以了
有不懂欢迎追问