在证明极限的唯一性中，为什么要有N=max{N1,N2}这一步？另外，a-b的绝对值是什么意思？为什么要这样做？

Question

如题所述

Answer 1

先看唯一性如何证明出来：
设：lim an=a，同时，lim an=b，则证：a=b
根据定义：
任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|an-a|<ε/2
对上述ε>0，存在N2>0，当n>N2，有|an-b|<ε/2
取N=max{N1,N2}，则当n>N，上两不等式都成立
于是，|a-b|≤|an-a|+|an-b|<ε/2+ε/2=ε
即，任意ε>0，有|a-b|<ε，故a=b

对于第一个问题：为什么要有N=max{N1,N2}这一步？？
这是因为，在后面的证明中，需要用到定义中的两个不等式
而，这两个不等式的成立是需要一定的条件的（分别为：当n>N1和当n>N2）
那么，我只需要取N为N1与N2的最大值，那么当n>N时，两不等式肯定成立了

对于第二个问题：a-b的绝对值是什么意思？？
这涉及到两数相等的证明
先要讲如何证明两数(a,b)不相等：
要证明a,b不相等，就一定要找出一个确定的数c，使得：|a-b|=c
现在，如果我找不到一个确定的数c，那么a，b就只能相等了
回到这题：
任意ε>0，有|a-b|<ε
这就意味着，我无法找到一个确定的数c，使得|a-b|=c
那么，a就只能与b是相等的
这就和0.99循环与1相等一样，
尽管看起来样子有点不同，但我们无法找到一个确定的数c，使1-c=0.99…9…

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Answer 2

我们在趋近于极限a的时候会得到一个N1
当n>N1时，数列在(a-ξ,a+ξ)之间
而同样的在趋近于极限b的时候会得到一个N2

只有当n同时大于N1和N2的时候，那么数列an才同时在(a-ξ,a+ξ)和(b-ξ,b+ξ)中
所以取了N=max{N1,N2}，然后n>N

至于a-b的绝对值，如果这个值大于0，那么我们就可以找到足够小的ξ使得
(a-ξ,a+ξ)(b-ξ,b+ξ)不相交，那么会和之前的证明产生矛盾
于是|a-b|必须为0，即a=b，所以极限是相等的，即极限唯一本回答被网友采纳

Answer 3

我先证一下，我没书，不一定与书上完全一致
设有两个极限，a，b，且b>a，取ε=(b-a)/2，
由极限定义存在N1>0，当n>N1时，有|xn-a|<(b-a)/2，
（注意：上面这个式子只有在n>N1时成立，并不是对所有xn成立）
存在N2>0，当n>N2时，有|xn-b|<(b-a)/2，

取N=max{N1,N2}，当n>N时（注意：因为N是N1和N2中较大的，此时n>N1和n>N2就同时成立了）
此时：|xn-a|<(b-a)/2，|xn-b|<(b-a)/2 同时成立
将两个式子的绝对值去掉得：
-(b-a)/2 < xn-a < (b-a)/2 可得出：xn<(a+b)/2
-(b-a)/2 < xn-b < (b-a)/2 可得出：xn>(a+b)/2

这样两个结论同时被推出，所以矛盾了。

另外，有关ε的证明是难点，但不是重点，实在不明白，可以只看结论，过程跳过。不影响以后学习。

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