我想问几道大学高等数学的题目，请帮帮忙解答一下，不会做的不要乱写。谢谢！

Question

1.求幂级数 x/(1*3)+(x^2)/(2*3^2)+(x^3)/(3*3^3)+...+(x^n)/(n*3^n)+...的收敛域.

2.将函数 f(x)=1/(x^2+3x+2)展开成x的幂级数.

请老师们朋友们帮忙解答一下，谢谢了。请看清题，电脑打字不太方便表达。只有这点财富值了，回答完整的再加分。谢谢......

Answer 1

1、通项的系数an=1/(n*3^n)，a(n+1)/an=n/(3n+3)→1/3(n→∞)，所以收敛半径R=1/(1/3)=3，收敛区间是(-3,-3)。
x=3时，幂级数变为∑1/n，发散。

x=-3时，幂级数变为∑1(-1)^n/n，由莱布尼兹定理，级数收敛。
所以，收敛域是[-3,3)。
2、f(x)=1/((x+1)(x+2))=1/(1+x)-1/(2+x)=1/(1+x)-1/2×1/(1+x/2)
1/(1+x)=∑(-1)^n*x^n，-1＜x＜1。
1/(1+x/2)=∑(-1)^n*x^n/2^n，-2＜x＜2。
所以，f(x)=∑(-1)^n*x^n - 1/2×∑(-1)^n*x^n/2^n=∑(-1)^n*(1-1/2^(n+1))x^n。收敛范围是-1＜x＜1。

Answer 2

够完整的吧
∑ x^(n+1)/( (n+1)*3^n)
lim n^√[1/(n+1)*3^n]
=1/3
因此收敛域为(-3,3)
记S=∑ x^(n+1)/( (n+1)*3^n)
则S'=∑ (n+1)*x^n/((n+1)*3^n)
=∑ x^n/3^n
=∑(x/3)^n
=1+(x/3)+(x/3)^2+……+(x/3)^n，n趋于无穷
=[1-(x/3)^n]/[1-(x/3)]，n趋于无穷
=1/(1-(x/3))
=3/(3-x)
S=S(0)+∫(0,x)S'(y)dy
=∫(0,x)3dy/(3-y)
=(-3)∫(0,x)d(3-y)/(3-y)
=(-3)ln(3-y) | (0,x)
=(-3)ln(3-x)-(-3)ln(3-0)
=(-3)ln(3-x)+3ln3
再讨论端点：
明显x=3，数项级数发散（在S与S'中）；x=-3，数项级数也发散（在S'中）
因此，收敛区间为：(-3,3)
.

Answer 3

∑ x^(n+1)/( (n+1)*3^n)
lim n^√[1/(n+1)*3^n]
=1/3
因此收敛域为(-3,3)
记S=∑ x^(n+1)/( (n+1)*3^n)
则S'=∑ (n+1)*x^n/((n+1)*3^n)
=∑ x^n/3^n
=∑(x/3)^n
=1+(x/3)+(x/3)^2+……+(x/3)^n，n趋于无穷
=[1-(x/3)^n]/[1-(x/3)]，n趋于无穷
=1/(1-(x/3))
=3/(3-x)
S=S(0)+∫(0,x)S'(y)dy
=∫(0,x)3dy/(3-y)
=(-3)∫(0,x)d(3-y)/(3-y)
=(-3)ln(3-y) | (0,x)
=(-3)ln(3-x)-(-3)ln(3-0)
=(-3)ln(3-x)+3ln3
再讨论端点：
明显x=3，数项级数发散（在S与S'中）；x=-3，数项级数也发散（在S'中）
因此，收敛区间为：(-3,3)