已知圆M:x^2+y^2-2mx+4y+m^2-1=0与圆N:x^2+y^2+2x+2y-2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆

Question

已知圆M:x^2+y^2-2mx+4y+m^2-1=0与圆N:x^2+y^2+2x+2y-2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标。

Answer 1

圆M：(x-m)^2+(y+2)^2=5
圆N：(x+1)^2+(y+1)^2=4
由题意得，AB为N直径。又因为两圆交线垂直于圆心连线，所以AB垂直于MN。
可知MNA为直角三角形，AN=2,AM=根号5，求出MN=1。
M(m,-2),N(-1,-1)。易得m=-1,M(-1,-2)

Answer 2

解析，
这个题，满足题意的圆有很多，不能求出M的圆心坐标，只能求出圆M的半径最小时，M点的坐标。
AB平分圆N的圆周，
那么，点N一定在AB上，且平分AB。
圆M：(x-m)²+(y+n)²=1+n²，圆心为(m,-n)。
圆N：(x+1)²+(y+1)²=4，圆心为(-1,-1)。
因为两圆交线垂直于圆心连线，所以AB垂直于MN。可知MNA为直角三角形
根据勾股定律，AB=2R=4 R^2+MN^2=AM^2
1+n²=4+(m+1)²+(n-1)²
整理得，(m+1)²=2n-4.
2n-4=(m+1)²≥0
n≥2，n(mix)=2，此时m=-1，圆M的半径为√5
故，当圆M的半径最小时，圆M的方程为：(x+1)²+(y+2)²=5.