limXn=A(有限或正无穷负无穷） 求证lim（1/n)*(X1+X2+X3+……+Xn)=A

Question

另外就是说……
我用左减右……
得到|X1-A+X2-A+……+Xn-A|
然后觉得这式子不太像趋近于零的赶脚……

当然肯定是出问题了但是不知道哪里出问题了……

Answer 1

lim an=a，a为常数
根据定义，
任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|an-a|<ε
对于：
|(a1+a2+…+an)/n - a|
=| [(a1-a)+(a2-a)+……+(aN1-a)]+[(a(N1+1)-a)+(a(N1+2)-a)+…+(an-a)] | / n
≤|(a1+…+aN1)/n|+|(a(N1+1)-a)+(a(N1+2)-a)+…+(an-a))/n|
=|(a1+…+aN1)/n|+((n-N1)/n) * ε
<|(a1+…+aN1)/n|+ε
因此，取N=max{N1，| a1+…+aN1 |/ε}
那么有，
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|(a1+a2+…+an)/n - a|<(1+1)ε=2ε
故根据定义，
lim (a1+……+an)/n=a

lim an=+∞
根据定义得，
任意M>0，存在N>0，当n>N，有an>3M
此时，
(a1+a2+…+an)/n
=(a1+…+aN)/n+(a(N+1)+…+an)/(n-N) *(1-N/n)
>(a1+…+aN)/n+3M*(1-N/n)
又有(a1+…+aN)/n→0，1-N/n→1，(n→∞)
根据保号性
对上述M>0，存在N'>N，当n>N'，恒有|(a1+…+aN)/n|<M/2，1-N/n>1/2
于是，当N>N'时，有(a1+a2+…+an)/n>-M/2 + 3M/2=M
故由定义得：
lim (a1+a2+…+an)/n=+∞

lim an=-∞可以类似证得

有不懂欢迎追问

Answer 2

1、你的左减右时把(1/n)给丢掉了，所以不正确。

2、本题简单证法，用stolz定理：设有数列Bn,Cn 若Cn>0递增且有n-->+∞时Cn-->+∞
则有：若lim(B(n+1）-Bn)/(C(n+1）-Cn)=L(L可以是0,有限数，或+∞（-∞））
==>lim(Bn)/(Cn)=L
本题设Bn=x1+x2+...+xn，Cn=n
则(B(n+1)-Bn)/(C(n+1)-Cn)=x(n+1)→A
因此得：lim Bn/Cn=A，即：lim (x1+x2+...+xn)/n = A

Answer 3

左减右……
得到|X1-A+X2-A+……+Xn-A| / n

你漏掉了/n当然不能保证收敛

这个问题更一般的结论可以去看Stolz定理，你自己去查

Answer 4

谁第一个回答，我就采纳谁！！