解1（如图）
设直线BI交△ABC的外接圆于点P，得P是AC的中点
记AC的中点为M，则PM⊥AC
设点P在直线DI上的射影为N
由于a+c=3b，则半周长p=(a+b+c)/2=2b
则BD=BE=p-b=b=AC=2CM
又∠ABP=∠ACP，∠BDI=∠CMP=90
所以△DBI∽△MCP，且相似比为2
得PI=PC=PA
△DBI∽△NPI
则DI=2NI，即N是IK中点
PK=PI，同理PL=PI
所以A，K，C，L都在以P为圆心的同一圆上
解2
三角形ABC中，AB=c,BC=a.AC=b,a+c=3b,内切圆切边AB于D，BC于E，I为内心，K为D关于I的对称点，L为E关于I的对称点，求证：AKLC四点共圆。
证明:
如图，作A，C关于I的对称点A1，C1，把证明AKLC四点共圆转为证明A1C1DE四点共圆.
连接C1A1，它和AB，CB交点为C2，A2，作IF垂直于AC，
由对称的关系可知C1A1平行于AC，和△ABC的内切圆相切点为F1，
设△ABC内切圆半径为R，
FF1为AC和C1A1的距离，FF1=2R，
设△ABC的边AC上的高为h，则△ABC的面积S=bh/2
由内切圆半径公式，R=2S/C，其中C为周长，由题知，C=a+b+c=4b,
所以R=bh/C=bh/4b=h/4
FF1=2R=h/2,
由此可知，C1A1截得的△C2BA2中，边C2A2的高为△ABC对应高的一半，
C2，A2分别为AB，BC的中点，△C2BA2各边为△ABC的一半.
△C2BA2的内切圆圆心在BI上，并且它到B点的距离等于BI的一半。
因为ID垂直于AB，IE垂直于BC，所以DIEB四点共圆，取BI中点为O，
因为BI是DE的垂直平分线，所以O为圆BDIE的圆心。
因为BO=BI/2，所以O也是三角形C2BA2的内切圆圆心。
下面证明C1，A1也在圆BDIE上。
过点O作C1A1的垂直线OH，作AB的垂直线OM，
接下来证明C1H=BM。
由题设可知
AF=AD,CF=CE,
b=AC=AF+CF=AD+CE
BD=BE
a+c=BC+BA=(BE+CE)+(BD+AD)=BE+BD+(AD+CE)=2BE+b
由a+c=3b，代入得2BE+b=3b，所以
BE=BD=b，AF=AD=c-b,CF=CE=a-b，
同时有C1F1=CE=a-b
由于C2是AB的中点，所以C2A=c/2
因为小△C2BA2各边为△ABC的一半，
O是△C2BA2的内切圆圆心，OH垂直于C2A2，
所以C2H=AF/2=(c-b)/2
C1C2=C1F1-C2F=C1F1-C2D=C1F1-(C2A-AD)=(a-b)-[c/2-(c-b)]=a+c/2-2b
C1H=C1C2+C2H=(c-b)/2+a+c/2-2b=(a+c)-5b/2=3b-5b/2=b/2
即C1H=b/2,
又O是△C2BA2内心，知OH=OM，因为O是BI的中点，所以M是BD的中点
BM=BD/2=b/2，
所以C1H=BM，
RT△OHC1和RT△OMB全等，所以OC1=OB，同理OA1=OB，C1，A1在圆BDIE上.