已知函数y=f(x)的定义域为R。且对任意a,b属于R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1;且当x>0是，f(x)>1.

Question

(1)证明：函数y=f(x)是R上的增函数
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m^2-m-2)<3

Answer 1

(1)证明：令x1+k=x2，k＞0，即x1＜x2 x1，x2∈R

∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1
∴f(x1+k)=f(x1)+f(k)-1
即f(x2)=f(x1)+f(k)-1
f(x2)-f(x1)=f(k)-1

∵k＞0 ∴f(k)>1 f(k)-1>0
即f(x2)-f(x1)＞0
∴f(x)是R上的增函数
（2）解不等式
f(4)=5

f(2+2)=2f(2)-1=5

f(2)=3
∵f（x）在R上单调
∴f(3m^2-m-2)<3=f（2）
即3m^2-m-2<2
（3m-4）*（m+1）＜0
-1＜m＜4/3追问

为什么x1+k=x2,k是什么？还有∵f（x）在R上单调
∴f(3m^2-m-2)<3=f（2）
即3m^2-m-2<2
（3m-4）*（m+1）＜0
-1＜m＜4/3 （看不懂啊看不懂，求教中，谢谢……）

追答

为了证明函数单调增，那么就要证明对于任意两个自变量x1，x2，如果x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)。
因此设x1＜x2，必然存在一个实数k>0,使得x1+k=x2.

∵f(2)=3

f(3m^2-m-2)<3

∴f(3m^2-m-2)<f(2)
∵f（x）在R上单调增
∴3m^2-m-2<2
解不等式即可。

Answer 2

1)设x1>x2,x1和x2都在R上
因为f(a+b)=f(a)+f(b)-1
所以f(x1)=f(x1-x2)+f(x2)-1
f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1
因为当x>0 时，f(x)>1
并且x1>x2,所以x1-x2>0,f(x1-x2)>1
所以f(x1-x2)-1>0
即f(x1)-f(x2)>0
因为x1>x2,所以，函数y=f(x)是R上的增函数
2）f（4）=f(2)+f(2)-1 所以f(2)=3
f(3m^2-m-2)<f(2)
因为f(x)在R上单调增
所以，3m^2-m-2<2
解得（3m-4)(m+1)<0
-1<m<4/3

Answer 3

设x1>x2,x1和x2都在R上
因为f(a+b)=f(a)+f(b)-1
所以f(x1)=f(x1-x2)+f(x2)-1
f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1
因为当x>0 时，f(x)>1
并且x1>x2,所以x1-x2>0,f(x1-x2)>1
所以f(x1-x2)-1>0
即f(x1)-f(x2)>0
因为f(x)在R上单调增
所以，3m^2-m-2<2
解（3m-4)(m+1)<0
-1<m<4/3