证明：an极限=a， 则对任一正整数k 有an+k极限=a

Question

如题所述

Answer 1

数列{an}极限是a，则有，对任意的e>0，存在N使得n>N时，有

                 |an-a|<e，

此时对于任意的正整数k，有n+k>N+k>N，使得上式成立，即|an-a|<e，

分情况讨论，1.若数列{an}是单调增数列，则任意通项an<a,且an<an+k，则

 |an+k-a|=a-an+k<a-an=|an-a|<e，即|an+k-a|<e;

2.若数列{an}是单调不增数列，同理可得|an+k-a|<e;

综上对于任意e>0及任意正整数k，总存在N使得n+k>N时，有|an+k-a|<e，

命题得证。

Answer 2

因为n是一个无穷大的正整数 而k是一个任意的不为无穷大的正整数 所以相对于n来说是无限小的 因此 an=an+k 当n趋近与无穷大时 因此他们的极限相等 都为a