等边三角形ABC内接于圆O,D为BC弧(劣弧)上任意一点,AD交BC于点F,求证AD方=AB方+BD*DC

Question

如题所述

Answer 1

证明：四边形ABDC是圆内接四边形，则 AD*BC=AB*CD+AC*BD(托勒密定理)
在等边△ABC中，得 AB=AC=BC ∠BAC=60°则 AD=BD+CD ∠BDC=120°
在△BCD中，由余弦定理，得 BC^2=BD^2+CD^2-2BD*CD*cos120°=AB^2
所以，得 AD^2=(BD+CD)^2=BD^2+CD^2+2BD*CD=AB^2+BD*CD

Answer 2

证明：依题意有角ADB=角ADC(因为等边三角形ABC内接于圆O） (1)
在三角形ABD和三角形ADC中利用余弦定理不难得出：
COS角ADB=(AD^2+BD^2-AB^2)/2*AD*BD (2)
COS角ADC=(AD^2+DC^2-AC^2)/2*AD*DC (3)
得（DC-BD)(AD^2-BD*DC-AB^2)=0
由此得出 AD^2=AB^2+BD*DC

Answer 3

可只用平面几何知识而非三角函数知识来解，解答如下 ：
证明：在△ADC和△ACF中，由于△ABC为等边△，所以∠ADC=∠ACF=60°
所以△ADC∽△ACF 则AD/AC=AC/AF 得AD×AF=AC×AC= AB^2 ①
同理可得△ADC∽△BDF则AD/BD=DC/DF得AD×DF=BD×DC ②
①+②得 AD×AF+AD×DF= AB×AB+ BD×DCAD（AF+DF）= AB×AB+ BD×DC 即AD^2=AB^2+BD×DC来自：求助得到的回答

Answer 4

F点是干嘛的