3≤x+y≤4,1≤x-y≤2
设3x+y=m(x+y)+n(x-y)
=(m+n)x+(m-n)y
等式恒成立,则
(m+n)=3
(m-n)=1
m=2,n=1
这样,3x+y=2(x+y)+(x-y)
由3≤x+y≤4得,6≤2(x+y) ≤8
又 1≤x-y ≤2
得 7≤2(x+y)+(x-y)≤10
即7≤3x+y≤10
1）、利用恒等边形
3≤x+y≤4
所以 6≤2x+2y≤8
因为 1≤x-y≤2
所以 7≤3x+y≤10
（2）、利用图像
把不等式拆成4个：
3≤x+y
x+y≤4
1≤x-y
x-y≤4
即：y≥-x+3, y≤-x+4, y≤x-1, y≥x-4
在直角坐标系中作出它们的图像，是4根直线围成的正方形及其内部
正方形顶点是(2, 1), (5/2, 1/2), (5/2, 3/2), (3, 1)
因为都是一次函数
所以要求3x+y的取值范围，只需代入四个点的坐标进行计算
所以 7≤3x+y≤10 (分别是最左和最右的顶点)
x+y取最小时不是默认x-y也最小,事实是,在那个时候它就是最小...
老师的说法,在同相相加时,举例:如果两式相加在除2,求得X的范围那肯定是对的,但如何求Y的范围,两式相减??那肯定是错的嘛,但如果你把2式取个负号,即:求-(x-y)的范围,则它的范围应该倒一倒(比大的小,比小的大),然后你在和1式相加,除以2求得y的范围,那肯定也是正确的,且非常合理.然后你在x的范围上乘以3,然后在加上刚算得的y范围,这样的计算方法也是正确的.所以我估计老师所说错误的原因可能就在这里,不能把x,y同概而论,两者方法不一,怕你们弄错了..
现讨论老师讲的另外一种方法:把3x+y拆成2(x+y)+(x-y),原因在于,知道了x+y和x-y的范围后2(x+y)和x-y的范围当然变的已知,两者相加求得的范围即是答案.LZ的想法可能有点错误,因为现在我们把x+y,x-y看成的是一个整体,所求的3x+y又是另一个整体,而这两者跟x和y现在已经没关系了,因为我们已经知道了各个整体的范围.
如果LZ还未明白,还可以举个更加形象的例子:
现在我们抛开x和y,把题目重新定义一下,说
3小于等于A小于等于4
1小于等于B小于等于2
求2A+B的范围
好了现在LZ应该稍微有点明白其实x+y与x-y一旦范围确定,其实就和x,y没多少内在的联系了把.但话说回来,其实两者如果有那么点关系的话,就是说在求解题目时,如果你用的方法不怎么好,什么先求出x啊,再求出y啊,那就是你把原来给的已知,拆了开来,所以两者就联系上了..
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