第一步:求L1与L2的位置关系
直线L1是过点M(1,-2,6),方向向量为e1=(2,1,-1)的直线,直线上的点可以写成M+pe1=(1+2p,-2+p,6-p);
直线L2是过点N(1,3,-4),方向向量为e2=(1,0,-3)的直线,直线上的点可以写成N+qe2=(1+q,3,-4-3q)。
如果L1和L2相交,必然存在p、q使得M+pe1=N+qe2
即1+2p=1+q,-2+p=3,6-p=-4-3q
经计算方程组无解,说明L1和L2为异面直线。
第二步,求同时平行于L1、L2的平面的法向量
求同时平行于L1、L2的平面的法向量T,即求L1与L2的方向向量的外积
T=e1×e2=(2,1,-1)×(1,0,-3)=(-3,5,-1)
过L1且平行于L2的平面A过点M(1,-2,6),过L2且平行于L1的平面B过点N(1,3,-4)
则异面直线L1和L2的距离等于平面A到平面B的距离。
第三步,求平面A和平面B的方程
平面A的方程为:T*[(x,y,z)-M]=0
即(-3,5,-1)*(x-1,y+2,z-6)=0
-3(x-1)+5(y+2)-(z-6)=0
化简得3x-5y+z-19=0…………(1)
平面B的方程为:T*[(x,y,z)-N]=0
(-3,5,-1)*(x-1,y-3,z+4)=0
化简得3x-5y+z+16=0…………(2)
则平面A到平面B的距离d=丨16-(-19)丨/√(3²+(-5)²+1²)=√35
故选D
说明:
(1)最后一步也可只求平面A的方程,再计算点N到平面A的距离,结果是一样的
(2)楼上的老兄方法更直接,我的方法方便于复习这个章节的知识点
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