在直四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AA 1 ＝2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B 1 B、DA的中点．(

Question

在直四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AA 1 ＝2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B 1 B、DA的中点．(1)求二面角D 1 -AE-C的大小；(2)求证：直线BF∥平面AD 1 E.

Answer 1

（1）90°（2）见解析

(1)解：以D为坐标原点，DA、DC、DD 1 分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图． 则相应点的坐标分别为D 1 (0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ ＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)， ＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)， ＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)． 设平面AED 1 、平面AEC的法向量分别为 m ＝(a，b，1)， n ＝(c，d，1)． 由 由 ∴ m ＝(2，－1，1)， n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ， n = ＝ ＝0， ∴二面角D 1 AEC的大小为90°. (2)证明：取DD 1 的中点G，连结GB、GF. ∵E、F分别是棱BB 1 、AD的中点， ∴GF∥AD 1 ，BE∥D 1 G且BE＝D 1 G， ∴四边形BED 1 G为平行四边形，∴D 1 E∥BG. 又D 1 E、D 1 A 平面AD 1 E，BG、GF∥平面AD 1 E， ∴BG∥平面AD 1 E，GF∥平面AD 1 E. ∵GF、GB 平面BGF，∴平面BGF∥平面AD 1 E. ∵BF 平面AD 1 E，∴直线BF∥平面AD 1 E. (或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF∥平面AD 1 E，亦可)