看上去简单却十分难的一道几何证明题 求数学高手解答

Question

如题所述

Answer 1

题目与图有误？应该题目如下：
如图，△abc中，bd、ce分别是∠abc，∠acb的角平分线，且be=cd。求证：△abc是等腰三角形。
证明：因为bd、ce分别为∠abc，∠acb的角平分线，所以由角平分线定理得：
ac:bc=ae:be
ab:bc=ad:cd
ae=ac.be/bc........(1)
ad=ab.cd/bc.........(2)
(1)/(2)得：∽
ae:ad=(ac.be.bc)/(ab.cd.bc)，由于be=cd,则
ae:ad=ac:ab
在△bad与△cae中，有公共角∠a,又有其对应边成比例，根据相似三角形的判断定理得
△bad∽△cae
由相似三角形的特性知道，其对应角相等，有
∠abd=∠ace
即1/2∠a=1/2∠b
∠a=∠b
故：三角形abc为等腰三角形。
证毕

Answer 2

由角平分线的对应边成比例，所以
BC/CE=AB/AE，BC/BE=AC/AE
因为
BE=CD
所以
AB/AE=AC/AD
所以三角形ABC和三角形ACE相似
由相似三角形对应角相等，所以角ABE=角ACD
所以角ABC=角ACB
得证~三角形ABC为等腰三角形

Answer 3

证明：设△ABC各角∠A、∠B、∠C
所对应的边分别为a、b、c。
已知∠B、∠C
的角平分线
BE=CD
假设边AB>AC,
即有
c>b
,
∠C>∠B
我们试以△ABC的边、角来表示角平分线BE、CD,同时利用三角形
的面积公式到以下等式：
S△ABC=1/2a.b.sinB=1/(
2)
c.BE.sinB/2
+
1/(
2)
a.BE.sinB/2
由此可得：
BE=(2cosB/2)/(1/c
+1/a)
同理可得：
CD=(2cosC/2)/(1/b+1/a)
又
0
cosC/2;
（∠C>∠B）
又
1/c+1/a<1/b+1/a
(c>b)
BE=(2cosB/2)/(1/c
+1/a)>
(2cosC/2)/(1/b+1/a)=CD
得：
BE>CD
此结果与已知条件BE=CD矛盾，又我们再假设AB
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Answer 4

如图，已知△ABC中，两内角的平分线BD=CE。求证：AB=AC。
　　证法①
　　作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC
　　∵BD=EC，
　　∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF.
示意图
设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，
　　∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
　　∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
　　∴∠FBC=∠CDF，
　　∵2α+2β<180°,
　　∴α+β<90°，
　　∴∠FBC=∠CDF>90°
　　∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上.
　　设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=FD
　　连接CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH,
又∵BG=DH,∴BF=CD,
又∵BF=BE,∴CD=BE，∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB
　　∴AB=AC.
　　证法②
　　设二角的一半分别为α、β
　　sin(2α+β)/
sin2α=
BC/CE
=
BC/BD
=
sin(α+2β)/
sin2β,
　　∴2sinαcosαsin(α+2β)
-
2sinβcosβsin(2α+β)
=0
　　→sinα[sin2(α+β)+sin
2β]-
sinβ[sin2（α+β）+
sin2α]=0
　　→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2
sinαsinβ[cosβ-
cosα]=0
　　→sin
[(α-β)/2][sin2(α+β)
cos[(α+β)/2]
+
2
sinαsinβsin
[(α+β)/2]=0
　　，∴sin[(α-β)/2]=0
　　∴α=β,∴AB=AC.
　　证法③
　　用张角定理：
　　2cosα/BE=1/BC+1/AB
　　2cosβ/CD=1/BC+1/AC
　　若α>β
可推出AB>AC矛盾！
　　若α<β
可推出AB
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