为什么正三棱锥与补成的正方体有相同的外接球?

Question

为什么正三棱锥与补成的正方体有相同的外接球? 为什么长方体的外接球的半径是体对角线的一半? 正方体??? 要证明步骤!!!

Answer 1

正面想不通的时候就从反面想。
纠正：正三棱锥是指底面是正三角形，侧棱长都相等的三棱锥。如果底面边长和侧棱长不相等就不是正四面体。
应该是正四面体与补成的正方体有相同的外接球。
在正方体里可以找到正四面体，而且不止一个，那么它们的外接球当然是同一个(因为正四面体的4个顶点都在正方体的外接球上)。
反过来，任给一个正四面体，把它补成正方体后，那么这个正方体中所有正四面体的外接球相同，自然最初给的那个也和补成的正方体的外接球是同一个。
在长方体的外接球中，关键是要找长方体中过球心的面，这个面即对角面，理由很简单，长方体的中心显然在对角面内，且对角面的四个顶点都在球上。球心到两个相对顶点的距离均为半径，即直径为体对角线的长，亦即长方体外接球的半径是体对角线的一半。
立体几何里的很多东西在高考时是不必证明的，有点约定俗成的意思，能理解就可以了。