线性代数问题？

Question

What is the smallest subspace of 3 by 3 matrices that contains all symmetric matrices and all lower triangular matrices? What is the largest subspace that is contained in both of those subspaces?

Answer 1

第一题A，原因是：B,C和D可以直接排除了，因为题目给的两个向量的第三个分量都是0，无论怎么线性组合，结果的第三个分量都是0，所以只能是A，很容易发现，A可以写成题目给的两个向量的线性组合

第二题a＝2，因为齐次线性方程组有非零解，那么系数矩阵的行列式为0，或者行向量组线性相关即可

可以看出第一行＋第三行＝2,3,2这个等于第二行，系数矩阵的行列式为0，所以a＝2

第三题，1，因为齐次线性方程组的基础解系的解向量个数＝n－系数矩阵的秩，这个题n＝3，系数矩阵的秩＝2，所以基础解系有1个解向量。

Answer 2

第一问是全体3x3的矩阵构成的空间, 第二问是全体3x3对角阵构成的空间.追问

可是第一问全体对称阵和全体下三角阵不是都只需要7个输入就够了吗，为什么子空间是全体3x3阵呢？

追答

因为任何一个方阵都可以表示成一个对称矩阵和一个下三角矩阵的和
不要光看空间维数, 维数不完全说明问题(虽然不是一点用处也没有)

Answer 3

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。
所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：
。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系
的线性算子f都有哪几类，以及他们分别都有什么性质。