求(x^3+3x+√2)^6展开式中x^4的系数

Question

如题所述

Answer 1

本题主要考察，对二项展开式的理解
分析，三项展开式我们不知道，可是二项展开式，我们都知道，因此，要想办法把三项式转成二项式。（不要怕麻烦，后面你就知道，展开后很简单）
(x^3+3x+√2)^6
={x（x^2+3）+√2}^6按照二项展开式，展开成七项，（由于展开式打着不方便，我分别把这七项用C0，C1，C2，C3，C4，C5，C6）
原式=C0+C1+C2+C3+C4+C5+C6
再分析，题中要求x^4的系数，
当展开式写出之后，我们发现C0，C1中x的最低次幂都是大于4，因此，它们中肯定没有含x^4的项。
然而，C5，C6中的最高次幂都小于4，它们中肯定没有含x^4的项。
C3中根本就没有含有x^4的项，故含有x^4的项只在C2与C4中，
由展开式中，可以知道，C2中含x^4的项的系数为15*(3^4)*（√2）^2=2430
C4中含x^4的项的系数为15*6*（√2）^4=360
因此，(x^3+3x+√2)^6展开式中x^4的系数为2430+60=2790