不等式|x+1/x-1|<1的解集是什么？求过程！要详细哈！

Question

不等式|x+1/x-1|<1的解集是什么？求过程！要详细哈！

Answer 1

不等式|(x+1)/(x-1)|<1的解集是什么？
解：|(x+1)/(x-1)|=|x+1︱/︱x-1|<1，故得同解不等式︱x+1︱<︱x-1︱，不等号两边都是非负数，故可以平方之，得x²+2x+1<x²-2x+1，于是得2x<0，故得解集为{x︱x<0}.
注：遇到这种只有两个绝对值符号的情况，不必拘泥于常规解法！

Answer 2

一楼提供了常规解法，我提供一种技巧性解法，就是利用绝对值的几何意义。
|(x+1)/(x-1)|<1也就是|x+1|/|x-1|<1也就是|x+1|<|x-1|
|x+1|表示数轴上x点到-1这个点的距离，|x-1|表示数轴上x到1这个点的距离。|x+1|<|x-1|就是x到-1这个点的距离比到1的距离近，这样的x在哪里呢？楼主可以画个图，看出来，x如果在-1到1之间，要离-1更近，肯定要在0的左边，-1<x<0；如果x≤-1当然也可以，这个时候始终到-1的距离比到1的距离小2。所以综上所说，解集{x|x<0}就可以，这和一楼常规做法得到的结果是一致的。

Answer 3

|x+1/x-1|<1
即
-1<x+1/x-1<1
1. -1<x+1/x-1
(x+1)/(x-1)+1>0
(x+1)/(x-1)+(x-1)/(x-1)>0
2x/(x-1)>0
x(x-1)>0
即x>1或x<0
2. x+1/x-1<1
(x+1)/(x-1)-1<0
(x+1)/(x-1)-(x-1)/(x-1)<0
2/(x-1)<0
(x-1)<0
x<1
所以
取
x<0
解集是:{x|x<0,x∈R}本回答被提问者采纳

Answer 4

分类讨论:1.当绝对值里面大于0时，则(x+1)/(x-1)>0,(x+1)/(x-1)<1;所以x<-1.当绝对值里面小于0时，则(x+1)/(x-1)<0,(x+1)/(x-1)<1,所以-1<x<0.当绝对值里面是零时，x=-1.综上所述:x<0

Answer 5

-1<x+1/x-1<1所以0<x+1/x<2.因此x>0,但是此时x+1/x一定大于等于2，所以此不等式无实数解